UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 18
A função dada pela série
É solução de qual equação diferencial?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função em termos de série
Você sabe identificar qual é a forma analítica dessa função? Vamos relembrar da série de Maclaurin!
Quando temos , as derivadas aplicadas em zero são
E assim por diante
agora vamos identificar o polinômio de Maclaurin e verificar qual série vai resultar
E é exatamente a série que temos! Eu percebi isso pelo expoente do ! O cosseno é uma função par e, portanto, só tem expoentes pares!
Agora que sabemos a forma analítica da função, podemos dar seguimento ao que se pede! Temos que . Então precisamos descobrir de qual equação diferencial essa exponencial é solução!
Uma função é solução de uma equação diferencial quando, ao substituir a função e suas respectivas derivadas, encontramos uma igualdade! Então a ideia é essa: derivar e ir substituindo em cada uma das alternativas até achar!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Como sabemos que nossa solução é a exponencial
Precisamos derivar e substituir nas equações diferenciais e verificar se encontramos uma identidade. Bora começar?
Então para que seja solução, precisamos ter pelo menos um sinal positivo na EDO (levando em consideração apenas a solução e a derivada segunda), pois assim vamos ter o corte dos termos, caso contrário eles irão se somar e não vai resultar em uma identidade
Beleza?
Vamos testar a EDO da letra (a)
Sendo
Temos alguns pontos onde essa equação é satisfeita, mas isso não faz com que nosso seja solução dessa EDO, precisamos encontrar uma identidade do tipo . Portanto, a equação da letra (a) não a que estamos procurando
Passo 3
Agora que você entendeu o mecanismo, vou pular lá para a EDO da letra (d):
Como , substituindo temos
Ok! Encontramos uma identidade! Isso nos diz que é solução da equação diferencial !
E a alternativa que nos diz isso é a (d)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!