Questão 9: A soma da série
É...
Passo 1
Primeiro devemos encontrar uma série em que a gente possa se espelhar para obter o resultado. Eu não sei quanto a você, mas estou com um forte pressentimento de que deveremos utilizar essa série aqui:
Pois se a gente deriva-las, veja o que a gente ganha:
Se derivarmos novamente...
Pow! Se fizermos uma mudança de variável dessa forma aqui...
Viu só? Como é só um nome de um índice, podemos voltar a chama-lo de ...
E mais, como estamos querendo a nossa série começando de , podemos desemembrar o somatório até ...
Como...
E
Então...
Passo 2
Fazendo então...
E simplificando...
Veja que fizemos aquela propriedade de potência, onde:
Como ...
Saca? Agora outra propriedade que podemos utilizar aqui é de que , como é uma constante multiplicativa, ela pode vazar da série:
Ora, é a mesma coisa que , por outra propriedade de potência (aqui estamos usando muitas dessas propriedades pro você ver como é importante aquela matemática de ensino médio ):
Passando o dividindo...
E ta aí! A resposta na letra !