Séries de Taylor
Responda as seguintes questões:
- Sabendo que a função é analítica para , mostre que:
- Seja a soma da série . Determine a função em termos de funções elementares. Justifique.
Passo 1
Letra a)
Bom, precisamos escrever como série de potências, para provar o que o problema pede.
Aqui nós temos duas opções, a 1ª é resolver esse exercício como todos os de Série de Taylor que já fizemos, calculando as derivadas da função e achando um padrão. Mas vamos resolver de uma forma diferente, que vai inclusive ajudar na letra b) da questão!
A função não tem a mínima semelhança com a soma da Série geométrica, não é? Não mesmo, mas veja o seguinte. Vamos derivar .
Essa função derivada se parece muito com , não é? E nós sabemos que:
Vamos então usar essa informação.
Passo 2
Vamos escrever a função derivada como uma Série Geométrica, para depois achar a representação de por série. Temos
Como a razão é , temos:
Certo?
Passo 3
Mas o que queremos é a representação de , não de sua derivada. Repare só, integrando ambos os lados da igualdade acima, temos:
Assim, resolvendo essa integral, encontramos uma representação em série para . É como se estivéssemos integrando cada termo do somatório que representa . Veja:
Passo 4
Letra b)
Nesse item precisamos de um pouco de atenção. Traduzindo o enunciado: o problema quer saber qual função que tem essa representação em série
Mas que diabos isso tem a ver com a letra a) da questão? Tudo! Se você reparar, a derivada dessa série é exatamente:
Eles até escreveram os denominadores fatorados, para a gente ver com mais clareza. Esse é o segredo da questão. Temos então:
Passo 5
Como queremos encontrar , vamos integrar essa equação dos 2 lados:
Foi até ai? Colocamos a integral começando em zero para facilitar nossa vida e o intervalo final genérico. Temos então:
Como (a soma de zero termos é zero):
Agora vamos integrar por partes. Fazendo:
Isso nos dá
Fazendo , , temos:
Resposta
b)