- Represente a função
Como uma série de potências de , determinando o intervalo de convergência.
- Use o item para obter uma série de potências para a função , indicando também o seu intervalo de convergência.
Como uma série de potências de , determinando o intervalo de convergência.
Passo 1
a)
Bom, primeiro vamos reescrever de maneira esperta!
Fizemos isso para deixarmos a função com a cara
Isso porque essa expressão com é a soma da série geométrica de razão .
Comparando, podemos perceber que
Então, essa função é uma série geométrica de razão
Podemos dar uma arrumada nesse termo geral
Passo 2
Agora que achamos a série, temos que achar o intervalo de convergência. Normalmente, pegaríamos aquele termo geral e aplicaríamos o teste da razão.
Mas nesse caso, como a nossa função é uma série geométrica, sabemos que essa série converge se
Assim
Temos
Então
Esse é o nosso intervalo de convergência
Não precisamos testar as extremidades, porque na série geométrica, as extremidades não convergem.
Passo 3
b)
Vamos achar agora a série de potências de . Como? WTF!!
Calma, vamos usar a dica que ele deu, que é usar o item
Repara que
Qual relação essa função tem com a ? Se fizermos a integral dessa , vamos achar . Então podemos começar achando a série de potências de
Vamos integrar esse polinômio
Passo 4
Vamos achar esse , para isso, vamos usar condições que sabemos de
Então
Então
Lembrando que quando integramos uma série de potência, seu intervalo de convergência não muda, então o intervalo de convergência dessa série é
Passo 5
Agora, estamos mais perto da nossa , o que falta é multiplicar por
Então
E o intervalo de convergência não vai mudar, ou seja, ele vai ser
Resposta
a)
Com intervalo de convergência
b)
Com intervalo de convergência