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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Exercício 8123456791011121314151617181920212223242526272829303132

Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 3.32

Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

32)

∫ 0 0 , 3 x 2 1 + x 4 d x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos a seguinte integral como uma série de potências:

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x

Para isso, devemos analisar a função dentro da integral e comparar com uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Com isso, podemos resolver a integral e, em seguida, calcular o raio de convergência!!

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função para que possamos comparar com a nossa função exemplo, temos:

f x = x 2 1 + x 4 = x 2 * 1 1 + x 4 = 1 1 - - x 4

Assim, temos a seguinte série de potências:

f x = x 2 * ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n ∴

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2

Aplicando na integral e resolvendo, temos:

∫ 0 0 , 3 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 2 d x ∴

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 4 n + 3 4 n + 3 0 , 3 0 ∴

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 4 n + 3   0 , 3 4 n + 3 ∴

∑ n = 0 ∞ - 1 n 0,3 4 n + 3 4 n + 3  

Tomando os dois primeiros termos da série, temos que a integral é dada por

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x = 3 3 3 * 10 3 + 3 7 3 * 10 7 = 0,008969

Passo 3

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

- x 4 < 1 ∴

x < 1

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∫ 0 0,3 x 2 1 + x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 0,3 4 n + 3 4 n + 3   ≈ 0,008969

R = 1

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