Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

Encontre uma representação em série de potencias em torno de x = 0 da função.

f x = x 7 ln ⁡ ( 1 + x 2 )

Sugestão: Utilize o teorema de integração de séries de potências ∫ 2 x 1 + x 2 d x

Passo 1

A ideia dessas questões é sempre manipular aquelas série manjadas que nos conhecemos. Nesse caso a gente vai brincar com a série geométrica. Lembremos que.

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n  

Vamos agora usar isso e a dica que ele deu para encontrar a série de potencias.

Passo 2

Substituindo x por - x 2

1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( - x 2 ) n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n

Vamos também multiplicar essa equação por 2 x .

2 x 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n + 1

Agora podemos integrar dos dois lados e ver o que a gente encontra.

∫ 2 x 1 + x 2 d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n + 1 d x

ln ⁡ 1 + x 2 = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n + 2 2 n + 2

Agora tá bem moleza. Vamos multiplicar a equação por x 7 e vai estar tudo certo.

f x = x 7 ln ⁡ ( 1 + x 2 ) = C x 7 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n + 9 2 n + 2

Resposta

f x = C x 7 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n + 9 2 n + 2

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