UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 12 – Questão 17
A função dada pela série
É solução de qual equação diferencial?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função em termos de série
Você sabe identificar qual é a forma analítica dessa função? Vamos relembrar da série de Maclaurin!
Quando temos , as derivadas são todas iguais! E isso resulta nessa polinômio aqui
E é exatamente a série que temos!
Então precisamos descobrir de qual equação diferencial essa exponencial é solução!
Uma função é solução de uma equação diferencial quando, ao substituir a função e suas respectivas derivadas, encontramos uma igualdade! Então a ideia é essa: derivar e ir substituindo em cada uma das alternativas até achar!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Como sabemos que nossa solução é a exponencial
Sabemos que suas derivadas (de todas as ordens) são iguais
Então para que seja solução, precisamos ter pelo menos um sinal negativo na EDO, pois assim vamos ter o corte dos termos, caso contrário eles irão se somar e não vai resultar em uma identidade
Beleza?
Vamos testar a EDO da letra (a)
Sendo
Como e também, essa equação não tem solução, e portanto não é a EDO que queremos!
Passo 3
Agora que você entendeu o mecanismo, vou pular lá para a EDO da letra (e):
Como , substituindo temos
Ok! Encontramos uma identidade! Isso nos diz que é solução da equação diferencial !
E a alternativa que nos diz isso é a (e)
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!