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Exercícios Resolvidos de Derivação e Integração de Séries de Potência

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Enunciado

UERJ, Sem Campus, Cálculo II, Listas de C2 - Profª Aline Lunkes - Lista 8 - Série de Potências, Questão 3.31

3. Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?

31 .   ∫ 0 0.1   x a r c t g ⁡ ( 3 x ) d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida ∫ x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) d x como uma série de potências e determinar o raio de convergência.

Começamos por encontrar a expansão em série de potências para a função a r c t a n ⁡ ( 3 x ) . Uma maneira de fazer isso é usar a expansão da função arcotangente: a r c t a n ⁡ ( 3 x ) = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n ( 3 x ) 2 n + 1 2 n + 1 Agora, podemos multiplicar a série por x para obter a expansão em série de potências para x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) : x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 2 n + 2 2 n + 1

Passo 2

Agora, podemos integrar termo a série de potências:

∫   x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) d x = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) + C

Onde C é uma constante de integração.

Passo 3

O próximo passo é determinar o raio de convergência da série de potências. Para isso, usamos o teste da razão:

R = l i m n → ∞   a n + 1 a n

Onde a n é o coeficiente de x n na série. No caso da série ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 x 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) , temos a n = ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) .Calculamos o limite:

R = l i m n → ∞   ( - 1 ) n + 1 3 2 n + 3 2 n + 3 2 n + 1 + 3 ( - 1 ) n 3 2 n + 1 2 n + 1 2 n + 3 = l i m n → ∞   3 2 n + 3 3 2 n + 1 ⋅ 2 n + 1 2 n + 3 2 n + 3 2 n + 5

= l i m n → ∞   3 2 ⋅ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 5 )

Apliccando L’Hospital:

3 2 l i m n → ∞   2 n + 1 2 n + 5 = 3 2 l i m n → ∞   2 2

3 2 l i m n → ∞ 1 = 9

Portanto, o raio de convergência da série de potências é R = 9 .

Passo 4

Agora, para encontrar a integral definida ∫ 0 0.1   x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) d x , podemos usar a série de potências que calculamos:

∫ 0 0.1   x a r c t a n ⁡ ( 3 x ) d x = ∑ n = 0 ∞   ( - 1 ) n 3 2 n + 1 ( 0.1 ) 2 n + 3 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 )

Resposta

R = 9

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