UFF, Sem Campus, Cálculo IA, AD1 - Pré-Cálculo - 2023.1, Questão 1a
Considere a equação abaixo e faça o que se pede:
a. Mostre que o valor de na equação acima é um número irracional e encontre e tais que . Justifique sua resposta.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma equação de primeiro grau e pediu pra gente mostrar que o valor de nessa equação é um número irracional. Lembra o que é um número irracional?
Os números racionais são os números que não podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, são as raízes não exatas e as dízimas não periódicas, beleza?
Então, vamos isolar na equação e verificar se seu valor se encaixa nesse conjunto. Vamos lá!
Passo 2
Vamos verificar a equação:
Tirando o M.M.C das frações no denominador do lado direito, temos:
Fazendo a divisão de frações:
Agora vamos multiplicar os dois lados por :
Multiplicando os dois lados por agora, temos:
Simplificando:
Para tirar a raiz do denominador, podemos multiplicar a fração pelo conjugado :
Calculando esse valor, temos na forma decimal:
Repare que essa é uma dízima não periódica, porque não há um padrão (um período) de repetição na parte fracionária. Dessa forma, podemos dizer que é um número irracional.
Um número racional que estaria depois de poderia ser que representa a dízima periódica e que, portanto, pertence aos números racionais. E um número menor que contido no conjunto dos números racionais, seria . Então, temos , com .
E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉