Resolva a equação abaixo (em ) usando as substituições indicadas. Observe o domínio de cada variável e teste as soluções encontradas.
Passo 1
OK, vamos começar verificando o domínio. Precisamos que tudo que esteja dentro da raiz quadrada seja maior ou igual a zero, então vamos ter, para :
Assim, nosso domínio será:
Passo 2
Legal, agora vamos aplicar a substituição. Temos que:
Então, para a substituição desejada ():
Passo 3
Agora, isolando tudo de um lado, temos uma equação de segundo grau:
Na forma:
Com:
Que, por Bhaskara, tem solução:
Substituindo os valores:
Assim, para cada sinal:
Passo 4
Beleza, achamos , mas queremos . Então, para isso, usamos a definição:
Assim, para cada caso:
Elevando ao quadrado:
Agora, vamos ter que:
Assim:
Passo 5
Agora resta testar os dois candidatos à solução. Todos os valores que encontramos são maiores que zero, então estão dentro do domínio. Vamos substituir na equação:
Para :
Que é verdade, então é mesmo solução.
Para :
Então também é solução: