Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Ver Teoria
Exercício 452123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.7b

Seja f : A   ⊆ R 2 → R uma função harmônica no aberto A, ou seja, f u u + f v v = 0 , para todo u , v   ϵ   A . Sejam ainda g , h   : B   ⊆ R 2 → R funções de classe C 2 no aberto B tais que g x , y ,   h x , y   ϵ   B e satisfaçam g x = h y e h x = - g y .

b. Mostre que ∂ 2 f ∂ x 2 g x , y ,   h x , y + ∂ 2 f ∂ y 2 g x , y ,   h x , y = 0

Passo 1

Beleza? Pronto para calcular? Espero que sim, pois aqui vamos nós.

F x x , y = f u g x + f v h x

E

F y x , y = f u g y + f v h y

Derivando a primeira novamente

F x x = f u u g x + f u v h x g x + f u g x x + f v u g x + f v v h x h x + f v h x x

E agora a segunda novamente

F y y = f u u g y + f u v h y g y + f u g y y + f v u g y + f v v h y h y + f v h y y

Passo 2

Somando tudo

F x x + F y y = f u u g x + f u v h x g x + f u g x x + f v u g x + f v v h x h x + f v h x x + f u u g y + f u v h y g y + f u g y y + f v u g y + f v v h y h y + f v h y y

Temos que tudo se reduz a

= f u u + f v v g x 2 + g y 2 = 0

Pois

f u u + f v v = 0

Resposta

Ver o desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. G y = y - 1 4 y 2 + 2 y 5
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x β x