Seja f: A ⊆ R^2 → R uma função harmônica no aberto A, ou seja, f_uu + f_vv = 0 , para todo (u, v) ϵ A . Sejam ainda g, h : B ⊆ R^2 → R funções de classe C^2 no aberto B tais que g(x, y), h(x, y) ∈ ϵ B e satisfaçam g_x = h_y e h_x = -g_y .

b. Mostre que (∂²f / ∂x²)(g(x, y), h(x, y)) + (∂²f / ∂y²)(g(x, y), h(x, y)) = 0

Passo 1

Beleza? Pronto para calcular? Espero que sim, pois aqui vamos nós.

F x x , y = f u g x + f v h x

E

F y x , y = f u g y + f v h y

Derivando a primeira novamente

F x x = f u u g x + f u v h x g x + f u g x x + f v u g x + f v v h x h x + f v h x x

E agora a segunda novamente

F y y = f u u g y + f u v h y g y + f u g y y + f v u g y + f v v h y h y + f v h y y

Passo 2

Somando tudo

F x x + F y y = f u u g x + f u v h x g x + f u g x x + f v u g x + f v v h x h x + f v h x x + f u u g y + f u v h y g y + f u g y y + f v u g y + f v v h y h y + f v h y y

Temos que tudo se reduz a

= f u u + f v v g x 2 + g y 2 = 0

Pois

f u u + f v v = 0

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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