USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.3
Seja , com derivadas parciais contínuas em e tal que é o plano tangente ao gráfico de no ponto . Seja
.
Determine para que o plano tangente ao gráfico de no ponto seja paralelo ao vetor .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos uma função qualquer que tem derivadas parciais contínuas em , em particular esta função tem um plano tangente dado por
no ponto . Agora, se tivermos uma função da forma
.
queremos encontrar uma constante tal que o plano tangente à no ponto seja paralelo ao vetor . O exercício não é tão direto, mas, não é tão difícil! Para uma função de duas variáveis temos que o plano tangente é dado por
em que o vetor normal ao plano é identificado como
Usando então ambas as identificações acima e a regra da cadeia podemos relacionar a equação do plano de tangente a com os componentes do gradiente de . É um pouco difícil de visualizar, então vamos devagarzinho! Vem comigo!
Passo 2
Primeiro, vamos tentar usar a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais em e , primeiro, temos que
usando a regra de Leibniz (regra do produto), podemos expandir a derivada como
Calculando a derivada que está explícita no primeiro termo e usando a regra da cadeia no segundo, temos que
lembrando que é visto como constante na derivada em relação a , e usando a regra da cadeia novamente, temos que
ou simplesmente
Não tem como calcularmos explicitamente as derivadas em e . Mas, é para isso que nos deram a equação do plano tangente a no ponto , saca só!
Passo 3
Como queremos calcular o plano tangente a no ponto , vamos substituir na derivada que calculamos, temos que
que se resume à
Mas, no que isso nos ajuda? Por sorte, a função e as derivadas estão exatamente no ponto em que o plano tangente de foi calculado! Então, podemos identificar usando a identificação do plano tangente que dei no primeiro passo, que como o plano tangente tem equação
podemos identificar as derivadas parciais de como
cuidado que a definição do plano carrega um sinal negativo no termo constante, por isso que identifique a função no ponto como . E, portanto, a derivada parcial de que queríamos é simplesmente
Vamos fazer o mesmo agora para a derivada em relação a . Vem comigo!
Passo 4
Temos que calcular
usando a regra da cadeia
calculando as derivadas temos que
reorganizando a avaliando em , temos que
usando os valores para as derivadas parciais que identificamos no passo anterior, temos que
Ótimo! Temos quase tudo que precisamos! Vamos finalmente começar a trabalhar para encontrar a constante .
Passo 5
Podemos escrever a equação do plano tangente a no ponto como
ou simplesmente
precisamos calcular , usando a definição da função, temos que
sendo assim, temos que
de forma que o vetor normal é
Para que o vetor seja paralelo ao plano, ele precisa ser perpendicular a este vetor normal! Então bora lá!
Passo 6
Para os vetores serem perpendiculares eles devem obedecer a relação
ou seja
de forma que obtemos a nossa constante como
Uff… A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!