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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.1b

1.1. Calcule ∂ w ∂ t e ∂ w ∂ u pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.

b. w = x x 2 + y 2 ; x = t cos ⁡ u , y = t sin ⁡ u .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos obter as derivadas parciais de w com relação a t e com relação a u . Porém w está escrito como w = x x 2 + y 2 e as variáveis x e y como x = t cos ⁡ u e y = t sin ⁡ u .

E aí, como vamos calcular essas derivadas? 🤔

A regra da cadeia em funções de uma variável nós já sabemos calcular. Mas e com funções de duas variáveis? Como fazemos?

Nesses casos, w é definido em x e y que por suas vezes são funções de u e t .

Então para calcular a regra da cadeia em funções de duas variáveis, temos que calcular a soma das regras da cadeia em cada variável de w , ou seja

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ t

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ u

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Começando com a derivada de w em função de t , temos

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ t

Como w = x x 2 + y 2 , x = t cos ⁡ u e y = t sin ⁡ u ...

∂ w ∂ t = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x · ∂ t cos ⁡ u ∂ t + ∂ x x 2 + y 2 ∂ y · ∂ t sin ⁡ u ∂ t

Pela regra do quociente, temos

∂ x x 2 + y 2 ∂ x = ∂ x ∂ x · x 2 + y 2 - x · ∂ x 2 + y 2 ∂ x x 2 + y 2 2

∂ x x 2 + y 2 ∂ x = x 2 + y 2 - x · 2 x x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

∂ x x 2 + y 2 ∂ x = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2

E pela regra da cadeia...

∂ x x 2 + y 2 ∂ y = x ∂ x 2 + y 2 ∂ y ∂ 1 u ∂ u = - 2 x y x 2 + y 2 2

Substituindo em ∂ w ∂ t ...

∂ w ∂ t = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 · cos ⁡ u + - 2 x y x 2 + y 2 2 · sin ⁡ u

∂ w ∂ t = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 · cos ⁡ u - 2 x y x 2 + y 2 2 · sin ⁡ u

Substituindo x e y , vamos obter

∂ w ∂ t = - t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 2 · cos ⁡ u - 2 t cos ⁡ u t sin ⁡ u t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 2 · sin ⁡ u

∂ w ∂ t = - t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u 2 · cos ⁡ u - 2 t 2 cos ⁡ u sin ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u 2 · sin ⁡ u

∂ w ∂ t = - t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u 2 · cos ⁡ u - 2 t 2 cos ⁡ u sin ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u 2 · sin ⁡ u

Como cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u = 1 , então

∂ w ∂ t = - t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u t 2 2 · cos ⁡ u - 2 t 2 cos ⁡ u sin ⁡ u t 2 2 · sin ⁡ u

∂ w ∂ t = - t 2 cos 3 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u cos ⁡ u - 2 t 2 cos ⁡ u sin 2 ⁡ u t 4

∂ w ∂ t = - t 2 cos ⁡ u cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u t 4

∂ w ∂ t = - cos ⁡ u t 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada de w em relação a u

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ u

Substituindo w , x e y ...

∂ w ∂ u = ∂ x x 2 + y 2 ∂ x · ∂ t cos ⁡ u ∂ u + ∂ x x 2 + y 2 ∂ y · ∂ t sin ⁡ u ∂ u

Aproveitando as derivadas que calculamos anteriormente...

∂ w ∂ u = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 · - t sin ⁡ u + - 2 x y x 2 + y 2 2 · t cos ⁡ u

∂ w ∂ u = - x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 - t sin ⁡ u - 2 x y x 2 + y 2 2 t cos ⁡ u

Substituindo x e y , temos

∂ w ∂ u = - t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 2 - t sin ⁡ u - 2 t cos ⁡ u t sin ⁡ u t cos ⁡ u 2 + t sin ⁡ u 2 2 t cos ⁡ u

∂ w ∂ u = - t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u 2 - t sin ⁡ u - 2 t 2 cos ⁡ u sin ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + t 2 sin 2 ⁡ u 2 t cos ⁡ u

∂ w ∂ u = t 3 cos 2 ⁡ u sin ⁡ u - t 3 sin 3 ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u 2 - 2 t 3 cos 2 ⁡ u sin ⁡ u t 2 cos 2 ⁡ u + sin 2 ⁡ u 2

Simplificando essa equação um pouco mais, chegamos em...

∂ w ∂ u = t 3 cos 2 ⁡ u sin ⁡ u - t 3 sin 3 ⁡ u t 2 2 - 2 t 3 cos 2 ⁡ u sin ⁡ u t 2 2

∂ w ∂ u = t 3 sin ⁡ u cos 2 ⁡ u - sin 2 ⁡ u - 2 cos 2 ⁡ u t 4

∂ w ∂ u = sin ⁡ u - cos 2 ⁡ u - sin 2 ⁡ u t

∂ w ∂ u = - sin ⁡ u t

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ w ∂ t = - cos ⁡ u t 2

∂ w ∂ u = - sin ⁡ u t

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .