USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.4c
Considere uma função de classe . Suponha que:
- A imagem da curva plana , para t esteja contida numa curva de nível de f,
- A imagem da curva no espaço com , esteja contida no gráfico de f.
c. Determine uma equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto .
Passo 1
Olá, e agora a nossa última letra. Vamos então organizar em tópicos o que a questão nos deu para facilitar nossas vidas:
- Uma função do tipo
- Uma curva de nível da função
- Uma superfície de nível
e é com essas informações que iremos encontrar a equação do plano tangente ao gráfico no ponto .
Passo 2
Para encontrar a equação do plano tangente ao gráfico f, fazemos:
Assim o nosso gradiente fica
No ponto dado
Passo 3
Como a curva é uma curva de nível de f, isso significa que os componentes e da curva tem que satisfazer a nossa função. Então
E
Então
No ponto de tangência temos que, como estamos sobre a curva de nível:
Além disso, no ponto de tangência,
Assim,
Passo 4
Sabemos também que a curva
É a superfície de nível de f. Então podemos usar o mesmo raciocínio, só que com uma dimensão a mais. Assim, podemos dizer que se é superfície de nível da função, então
Ou seja
E assim, também podemos usar a regra da cadeia para derivar aqui. Ficamos com
As derivadas de em relação a u nós conseguir calcular e a derivada de z em relação a u também. Nossa incógnita fica sendo o gradiente de f, como queríamos! Derivando
Derivando z:
então, vamos ter
No ponto de tangência temos que, como estamos sobre a superfície de nível:
Daí tiramos que
Então nossa derivada no ponto de tangência fica:
Agora temos duas equações que relacionam e . Com isso conseguimos resolver o sistema e achar o nosso vetor gradiente para depois finalmente encontrarmos o plano tangente.
Resolvendo, temos que
Passo 5
Agora a equação do plano tangente ao ponto é
Ainda falta calcular o .
Mas, como sabemos que
e que
Agora finalmente voltando ao plano tangente: