Seja f: A ⊆ ℝ² → ℝ uma função harmônica no aberto A , ou seja, f_{uu} + f_{vv} = 0 , para todo (u, v) ∈ A . Sejam ainda g, h : B ⊆ R^2 → R funções de classe C^2 no aberto B tais que (g(x, y), h(x, y)) ∈ A para todo (x, y) ∈ B e satisfaçam g_x = h_y e h_x = -g_y .

a. Mostre que g_{xx} + g_{yy} = h_{xx} + h_{yy} = 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado define uma função f : A   ⊆   ℝ 2 → ℝ que é harmônica, ou seja, definida tal que

f u u + f v v = 0

para todo ( u , v ) ∈ A . Agora, no entanto, cada par ordenado é formado pelo par de funções g , h   : B   ⊆   ℝ 2 → ℝ de classe 𝒞 2 , que obedecem as relações

g x = h y e h x = - g y

como estes pares ordenados definem os valores de u = g ( x , y ) e v = h ( x , y ) , podemos usar a regra da cadeia para resolver a seguinte alternativa

a . Mostre que g x x + g y y = h x x + h y y = 0 .

Bora lá!

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em relação a u , temos que

f u = ∂ ∂ u f ( u , v ) = ∂ ∂ u f ( g ( x , y ) , h ( x , y ) )

aplicando a regra da cadeia, temos que

f u = ∂ f ∂ g ∂ g ∂ x + ∂ f ∂ g ∂ g ∂ y = [ ∂ g ∂ x + ∂ g ∂ y ] ∂ f ∂ g

e a segunda derivada será simplesmente

f u u = ∂ ∂ u f u = [ ∂ g ∂ x + ∂ g ∂ y ] [ ∂ g ∂ x + ∂ g ∂ y ] ∂ 2 f ∂ g 2

ou simplesmente

f u u = [ ( ∂ 2 g ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ g ∂ x ) ( ∂ g ∂ y ) + ( ∂ g ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ g 2

Analogamente, podemos obter que

f v v = [ ( ∂ 2 h ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ h ∂ x ) ( ∂ h ∂ y ) + ( ∂ h ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ h 2

Vamos juntar os termos na equação diferencial agora!

Passo 3

Temos que

[ ( ∂ 2 g ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ g ∂ x ) ( ∂ g ∂ y ) + ( ∂ g ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ g 2 + [ ( ∂ 2 h ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ h ∂ x ) ( ∂ h ∂ y ) + ( ∂ h ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ h 2 = 0

ou seja, temos que

[ ( ∂ 2 g ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ g ∂ x ) ( ∂ g ∂ y ) + ( ∂ g ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ g 2 = - [ ( ∂ 2 h ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ h ∂ x ) ( ∂ h ∂ y ) + ( ∂ h ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ h 2

usando as relações g x = h y e h x = - g y , temos que

[ ( ∂ 2 g ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ h ∂ y ) ( ∂ h ∂ x ) + ( ∂ g ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ g 2 = - [ ( ∂ 2 h ∂ x 2 ) + 2 ( ∂ h ∂ x ) ( ∂ h ∂ y ) + ( ∂ h ∂ y ) 2 ] ∂ 2 f ∂ h 2

ou simplesmente

[ g x x + g y y ] ∂ 2 f ∂ g 2 + [ h x x + h y y ] ∂ 2 f ∂ h 2 = 2 h x h y [ ∂ 2 f ∂ h 2 - ∂ 2 f ∂ g 2 ]

comparando os coeficientes, precisamos que

g x x + g y y = - 2 h x h y e h x x + h y y = 2 h x h y

Somando as duas equações obtemos que

g x x + g y y + h x x + h y y = 0

ou seja, temos que

g x x + g y y = - ( h x x + h y y )

Vamos verificar o que podemos dizer sobre essa igualdade!

Passo 4

Temos que h x x = - g x y e h y y = g y x , como as variáveis são independentes, temos que g x y = g y x , portanto, podemos garantir que

g x x + g y y = - ( - g x y + g x y ) = 0

ou seja

g x x + g y y = h x x + h y y = 0

Como queríamos demonstrar! Vamos para a próxima alternativa agora!

Resposta

Ao longo dos passos!

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