USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.7a
Seja uma função harmônica no aberto , ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto tais que para todo e satisfaçam e .
Mostre que .
Passo 1
Oiie, tudo certinho contigo?
O enunciado define uma função que é harmônica, ou seja, definida tal que
para todo . Agora, no entanto, cada par ordenado é formado pelo par de funções de classe , que obedecem as relações
e
como estes pares ordenados definem os valores de e , podemos usar a regra da cadeia para resolver a seguinte alternativa
Mostre que .
Bora lá!
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em relação a , temos que
aplicando a regra da cadeia, temos que
e a segunda derivada será simplesmente
ou simplesmente
Analogamente, podemos obter que
Vamos juntar os termos na equação diferencial agora!
Passo 3
Temos que
ou seja, temos que
usando as relações e , temos que
ou simplesmente
comparando os coeficientes, precisamos que
e
Somando as duas equações obtemos que
ou seja, temos que
Vamos verificar o que podemos dizer sobre essa igualdade!
Passo 4
Temos que e , como as variáveis são independentes, temos que , portanto, podemos garantir que
ou seja
Como queríamos demonstrar! Vamos para a próxima alternativa agora!
Resposta
Ao longo dos passos!