USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.6
Sejam uma função diferenciável e , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto . Sabendo que a reta r contém o ponto determine o vetor gradiente de f no ponto e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto
Passo 1
Olá meu amigo, Yuri aqui e iremos dar início a nossa resolução. Organizando tudo o que temos
- Uma função não especificada
- Uma curva que está contida na superfície formada por
- E uma reta, que sabemos que é tangente a curva de nível 4 no ponto e também passa pelo ponto
e com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de no ponto .
Passo 2
Temos dois pontos que passam pela reta r. Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos.
Como o gradiente da função é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(pois o é tangente a superfície).
Assim, se a gente rotacionar o vetor que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha. Assim podemos pegar o vetor e fazer:
E finalmente agora que o vetor e o são colineares, podemos escrever para o ponto
Ou seja, são multiplos
Passo 3
Vamos agora dar uma olhada para a curva Sabemos que ela está contida na superfície . Então podemos dizer que
e outra informação importante é que
Sendo assim
Agora para
Passo 4
E agora só precisamos de mais uma relação, que envolva a função e a curva . Iremos utilizar a regra da cadeia para isso:
Assim, como , e , só precisamos então calcular a derivada dessa curva para .
Para
Agora resolvendo a equação
E
Teremos
Para
Passo 5
Agora que temos o valor de k, é só voltarmos para a equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:
Com
Agora iremos encontrar a equação do plano tangente.
Como sabemos, é , porque a curva tem o nível com o .
Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor.
Agora sim, substituindo os dados