Sejam f: R^2 → R uma função diferenciável e γ(t) = (t, 2, t^2, t^2), t ∈ R , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto (2,8) . Sabendo que a reta r contém o ponto (1, -4) determine o vetor gradiente de f no ponto (2,8) e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto (2,8, f(2,8)) .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e iremos dar início a nossa resolução. Organizando tudo o que temos

  • Uma função não especificada f x , y
  • Uma curva γ ( t ) que está contida na superfície formada por f x , y
  • E uma reta, que sabemos que é tangente a curva de nível 4 no ponto ( 2,8 ) e também passa pelo ponto 1 , - 4

e com essas informações, temos que encontrar o vetor gradiente de f x , y no ponto ( 2,8 ) .

Passo 2

Temos dois pontos que passam pela reta r. Então vamos encontrar um vetor diretor dela, fazendo a diferença entre os pontos.

v → = 2,8 - 1 , - 4

v → = 1,12

Como o gradiente da função f ( x , y ) é dado pelo vetor normal à superfície, temos, por consequência, que ele é perpendicular a esse vetor encontrado(pois o v → é tangente a superfície).

Assim, se a gente rotacionar o vetor v → que encontramos em 90 graus, ele será paralelo ao vetor gradiente, e ficará na mesma linha. Assim podemos pegar o vetor v → = 1,12 e fazer:

v → = 1,12 + 90 º = 12 , - 1

E finalmente agora que o vetor v → e o ∇ F ( x , y ) são colineares, podemos escrever para o ponto 2,8 :

∇ F 2,8 = k ( 12 , - 1 )

Ou seja, são multiplos

Passo 3

Vamos agora dar uma olhada para a curva γ t . Sabemos que ela está contida na superfície f x , y . Então podemos dizer que

γ t = t , 2 t 2 , t 2

e outra informação importante é que

f x , z = z

Sendo assim

f t , 2 t 2 = t 2

Agora para z = 4

f 2,8 = 4

f t , 2 t 2 = t 2

t = 2  

Passo 4

E agora só precisamos de mais uma relação, que envolva a função f x , y e a curva γ t . Iremos utilizar a regra da cadeia para isso:

∇ f ∙ σ ' t = d t d t

Assim, como f t , 2 t 2 = t 2 , ∇ F 2,8 = k 12 , - 1 e t = 2 , só precisamos então calcular a derivada dessa curva para t = 2 .

γ t = t , 2 t 2 , t 2

σ ' t = 1,4 t , 2 t

Para t = 2

σ ' t = 1,8 , 4

Agora resolvendo a equação

∇ f ∙ σ ' t = d t d t

∇ F 2,8 = k 12 , - 1

σ ' t = 1,8 , 4

E

f t , 2 t 2 = t 2

Teremos

k 12 , - 1 ∙ 1,8 , 4 = 2 t

Para t = 2

k 12 , - 1 1,8 , 4 = 4

12 k - k 8 + 0 = 4

k = 1

Passo 5

Agora que temos o valor de k, é só voltarmos para a equação do vetor gradiente com o vetor diretor da reta:

∇ F 2,8 = k ∙ 12 , - 1

Com k = 1

∇ F 2,8 = 12 , - 1

Agora iremos encontrar a equação do plano tangente.

Como sabemos, f 2,8 ,   f 2,8 é f 2,8 , 4 , porque a curva tem o nível 4 com o t = 2 .

Agora que sabemos o vetor gradiente nesse ponto ( ∇ F 2,8 = ∂ f 2,8 ∂ x , ∂ f 2,8 ∂ y = 12 , - 1 , basta usarmos a equação do plano tangente para esse vetor.

∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y y - y 0 = z - z 0

Agora sim, substituindo os dados

∇ F 2,8 = 12 , - 1

f 2,8 = 4

12 x - 2 - 1 y - 8 = z - 4

12 x - y - z = 12

Resposta

z = 12 x - y - 12

Exercícios de Livros Relacionados

a) Determine o gradiente de f b Calcule o gradiente no ponto P c) Determine a taxa de variação de f em P na direção do vetor u .f(x, y, z) = raiz(x + y * z) P(1,3, 1) u = 〈 2 / 7, 3 / 7, 6 / 7 〉
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f(u, v, w) = u^2 + v^2 - w^2 + u*v*w; P(0,1,0)
Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado.x^2 + xy + y^2 - 3y = 1, e m 1,2
Seja F(x, y) = - (y / (x^2 + y^2)) i + (x / (x^2 + y^2)) j , (x, y) ≠ (0, 0) .c) F → é conservativo ? Por quê ?