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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.6

Seja u = u ( x , y ) função de classe 𝒞 2 em ℝ 2 e defina v ( r , θ ) = u ( r   c o s ( θ ) ,   r   s e n ( θ ) ) . Verifique que

∂ 2 v ∂ r 2 ( r , θ ) + 1 r ∂ v ∂ r ( r , θ ) + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 ( r , θ ) = Δ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

sendo Δ u , por definição dado por Δ u = u x x + u y y .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos aqui uma função de classe 𝒞 2 definida em ℝ 2 tal que u = u ( x , y ) , à esta função está relacionado o seguinte operador laplaciano

Δ u = u x x + u y y

precisamos aplicar a mudança de coordenadas

v ( r , θ ) = u ( r   c o s ( θ ) ,   r   s e n ( θ ) )

e, demonstrar que o laplaciano se torna

∂ 2 v ∂ r 2 ( r , θ ) + 1 r ∂ v ∂ r ( r , θ ) + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 ( r , θ ) = Δ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

ou seja, vamos usar a regra da cadeia para escrever o laplaciano em coordenadas polares! Bora lá!

Passo 2

Temos que escrever as derivadas parciais, note que x = x ( r , θ ) , portanto, a derivada parcial

u x = ∂ ∂ x u ( x , y )

pode ser reescrita usando a regra da cadeia da seguinte maneira

u x = ∂ r ∂ x ∂ ∂ r u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) ) + ∂ θ ∂ x ∂ ∂ θ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

precisamos de expressões para r ( x , y ) e θ ( x , y ) para conseguirmos calcular esta expressão, note que pela simetria polar, podemos escrever que

r ( x , y ) = x 2 + y 2

e, usando a definição de tangente como

t g ( θ ) = s e n ( θ ) c o s ( θ )

temos que o ângulo pode ser obtido em termos das variáveis originais como

t g ( θ ) = y x

ou simplesmente

θ ( x , y ) = a r c t g ( y x )

Vamos calcular as derivadas agora!

Passo 3

Por enquanto a derivada em relação a x está como

u x = ∂ r ∂ x ∂ ∂ r u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) ) + ∂ θ ∂ x ∂ ∂ θ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

usando as relações que obtivemos no passo anterior e derivando, temos que

u x = 2   x 2   x 2 + y 2 ∂ ∂ r v ( r , θ ) - y / x 2 1 + ( y / x ) 2 ∂ ∂ θ v ( r , θ )

simplificando e lembrando as definições da variáveis, temos que

u x = c o s ( θ ) ∂ ∂ r v ( r , θ ) -   s e n ( θ ) / r c o s 2 ( θ ) 1 + t g 2 ( θ ) ∂ ∂ θ v ( r , θ ) = c o s ( θ ) ∂ ∂ r v ( r , θ ) - s e n ( θ ) / r c o s 2 ( θ ) s e c 2 ( θ ) ∂ ∂ θ v ( r , θ )

ou seja, podemos definir o seguinte operador

u x = [ c o s ( θ ) ∂ ∂ r - s e n ( θ ) r ∂ ∂ θ ] v ( r , θ )

de forma que a segunda derivada toma a forma

u x x = ∂ ∂ x u x = [ ∂ ∂ x ] [ c o s ( θ ) ∂ ∂ r - s e n ( θ ) r ∂ ∂ θ ] v ( r , θ )

usando o operador que escrevemos acima, temos que

u x x = [ c o s ( θ ) ∂ ∂ r - s e n ( θ ) r ∂ ∂ θ ] [ c o s ( θ ) ∂ ∂ r - s e n ( θ ) r ∂ ∂ θ ] v ( r , θ )

agora fazendo o produto temos que

u x x = [ c o s 2 ( θ ) ∂ 2 ∂ r 2 + 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r 2 ∂ ∂ θ - 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r ∂ ∂ r ∂ θ + s e n 2 ( θ ) r ∂ ∂ r + s e n 2 ( θ ) r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 ] v ( r , θ )

Vamos fazer agora um processo análogo para a derivada em y !

Passo 4

Queremos calcular

u y = ∂ ∂ y u ( x , y )

pode ser reescrita usando a regra da cadeia da seguinte maneira

u y = ∂ r ∂ y ∂ ∂ r u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) ) + ∂ θ ∂ y ∂ ∂ θ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

usando as relações para r ( x , y ) e θ ( x , y ) , e derivando, temos que

u y = s e n ( θ ) ∂ ∂ r v ( r , θ ) + 1 / r   c o s ( θ ) s e c 2 ( θ ) ∂ ∂ θ u ( r   c o s ( θ ) , r   s e n ( θ ) )

onde as identificações são bastante similares ao que fizemos no passo anterior! Identificando o operador derivada como

u y = [ s e n ( θ ) ∂ ∂ r + c o s ( θ ) r ∂ ∂ θ ] v ( r , θ )

de forma que a derivada segunda pode ser escrita como

u y y = [ s e n ( θ ) ∂ ∂ r + c o s ( θ ) r ∂ ∂ θ ] [ s e n ( θ ) ∂ ∂ r + c o s ( θ ) r ∂ ∂ θ ] v ( r , θ )

ou simplesmente

u y y = [ s e n 2 ( θ ) ∂ 2 ∂ r 2 - 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r 2 ∂ ∂ θ + 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r ∂ 2 ∂ r ∂ θ + c o s 2 ( θ ) r ∂ ∂ r + c o s 2 ( θ ) r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 ] v ( r , θ )

Ótimo! Vamos juntar os dois resultados agora!

Passo 5

A soma dá uma relação gigantesca, então vou juntar termo por termo aqui, usando a relação

s e n 2 ( θ ) + c o s 2 ( θ ) = 1

obtemos que

c o s 2 ( θ ) ∂ 2 ∂ r 2 + s e n 2 ( θ ) ∂ 2 ∂ r 2 = ∂ 2 ∂ r 2

assim como também

s e n 2 ( θ ) r 2 ∂ ∂ r + c o s 2 ( θ ) r ∂ ∂ r = 1 r ∂ ∂ r

e, por último

s e n 2 ( θ ) r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 + c o s 2 ( θ ) r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 = 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2

os termos 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r 2 �� ∂ θ se eliminam, assim como 2 s e n ( θ ) c o s ( θ ) r ∂ 2 ∂ r ∂ θ , de maneira, que podemos resumir estes cálculos como

Δ u = ∂ 2 ∂ r 2 v ( r , θ ) + 1 r ∂ ∂ r v ( r , θ ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂ θ 2 v ( r , θ )

Como queríamos demonstrar! Aí está! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .