USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.9
Seja uma função de classe e seja dada por
Sabendo que é uma equação do plano tangente ao gráfico de no ponto e , calcule .
Passo 1
Oiie, tudo bem?
O enunciado nos dá duas funções, temos que a é de classe e temos a função definida em termos de dois parâmetros e da pr��pria função como
o enunciado também nos afirma que é a equação do plano tangente a , isso é uma vantagem, pois o vetor normal a este plano nos dá os componentes do gradiente de no ponto . Além disso, o enunciado nos afirma que
e
usando isso precisamos calcular
o ponto dado nesta derivada não é arbitrário, você verá quando aplicarmos o ponto que esta coordenada irá aparecer naturalmente! Mas, antes de tudo precisamos usar a regra da cadeia para calcular a primeira e segunda derivada de , bora lá!
Passo 2
Calculando primeiro a derivada em , temos que
aplicando a regra da cadeia, temos que
em que
e
calculando as derivadas que restaram, temos que
Agora, vamos calcular a segunda derivada, ou seja, a derivada em relação a !
Passo 3
Temos que calcular
usando a regra do produto, temos que
agora, usando a regra da cadeia
ou simplesmente
Ótimo! Agora temos que achar essas derivadas que faltam! Bora lá!
Passo 4
Por uma bondade temos que no ponto , temos que
e
podemos resolver para ambas as variáveis, de forma que
e, temos
aplicando Bhaskara temos que
de forma que temos
e
usando a segunda possibilidade, temos que
e, portanto, podemos garantir que no ponto , temos , grande vantagem, pois então podemos escrever
simplificando
usando os resultados dados no enunciado, temos que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!