USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.4a
2.4. Considere uma função de classe . Suponha que:
(i) a imagem da curva plana , para , esteja contida numa curva de nível de .
(ii) a imagem da curva no espaço , com , esteja contida no gráfico de .
a. Determine
Passo 1
Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉
Nesse problema temos que calcular o gradiente de no ponto . No enunciado foi dito que a curva plana pertence em uma curva de nível já a imagem de é dada pela superfície .
Tem ideia de como essas informações podem nos ajudar? 😐
Se é uma curva de nível de , podemos dizer que , assim, derivando e obtendo o valor de que satisfaz o ponto podemos encontrar o gradiente .
Depois fazendo o mesmo com a curva , podemos obter um sistema linear.
Sacou? Bora começar! 😉
Passo 2
Para , temos que
Da primeira equação, vamos obter
Derivando , temos
Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter
Aplicando o ponto fazendo , chegamos em
Se e
Calculando o produto interno entre e , temos
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 3
Temos que fazer o mesmo procedimento para a curva , ou seja
Para satisfazer a igualdade, temos que ter , ou seja
Aplicando em
Calculando o produto interno com
Nesse caso, temos
Que é o terceiro termo de
Derivando , vamos obter
Substituindo na equação do problema
Fazendo
Bacana, não é? 👀
Passo 4
Com isso, temos um sistema de duas variáveis e duas equações
Isolando na segunda equação e substituindo na primeira...
Substituindo na primeira
Assim, substituindo em
E finalmente, obtemos que o gradiente de no ponto é dado por
Sacou como faz? Responde Aí! 😉
