USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.8
Mostre que é continua em e em todas as derivadas direcionais em . A função f é diferenciavel em ?
Passo 1
Para mostrar que a função é contínua em (0, 0) e que todas as derivadas direcionais existem em (0, 0), podemos utilizar o conceito de continuidade e derivadas direcionais.
1. Continuidade em (0, 0):
Para verificar a continuidade da função em (0, 0), primeiro, vamos usar o critério de continuidade de uma função em um ponto, que diz que uma função é contínua em um ponto se todas as suas derivadas parciais existirem e forem contínuas nesse ponto.
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Para calcular , usaremos a regra da cadeia:
Agora, calculemos :
Usando a regra da cadeia novamente:
Agora, vamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em (0, 0).
Continuidade das derivadas parciais em (0, 0):
A derivada parcial é dada por:
A derivada parcial é dada por:
Agora, avaliemos essas derivadas parciais em (0, 0):
Ambas as derivadas parciais são iguais a 0 em (0, 0), o que significa que são contínuas em (0, 0). Portanto, as derivadas parciais existem e são contínuas em (0, 0).
Como todas as derivadas parciais de existem e são contínuas em (0, 0), a função é contínua em (0, 0).
Passo 2
2. Derivadas direcionais em (0, 0):
Agora, vamos verificar as derivadas direcionais em (0, 0). A derivada direcional de em relação a um vetor de direção é dada por:
Onde é o gradiente de em (0, 0), e denota o produto escalar.
Calculando o gradiente :
Agora, escolhemos um vetor de direção qualquer e calculamos a derivada direcional:
Isso significa que a derivada direcional de em qualquer direção em (0, 0) é sempre igual a 0.
Passo 3
3. Diferenciabilidade em (0, 0):
Para verificar se é diferenciável em (0, 0), precisamos verificar se existe um plano tangente bem definido em (0, 0). Isso ocorre se e somente se todas as derivadas direcionais existirem em (0, 0) e forem lineares em relação a .
Já mostramos que todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0. Além disso, todas as derivadas direcionais são constantes (iguais a 0), o que significa que são lineares em relação a .
Portanto, a função é diferenciável em (0, 0).
Resumindo:
- A função é contínua em (0, 0).
- Todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0 em todas as direções.
- A função é diferenciável em (0, 0).
Resposta
- A função é contínua em (0, 0).
- Todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0 em todas as direções.
- A função é diferenciável em (0, 0).