Mostre que f x , y = x 2 y 3 é continua em ( 0,0 ) e em todas as derivadas direcionais em ( 0,0 ) . A função f é diferenciavel em ( 0,0 ) ?

Passo 1

Para mostrar que a função ( f x , y = x 2 y 3 ) é contínua em (0, 0) e que todas as derivadas direcionais existem em (0, 0), podemos utilizar o conceito de continuidade e derivadas direcionais.

1. Continuidade em (0, 0):

Para verificar a continuidade da função em (0, 0), primeiro, vamos usar o critério de continuidade de uma função em um ponto, que diz que uma função é contínua em um ponto se todas as suas derivadas parciais existirem e forem contínuas nesse ponto.

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de ( f x , y ) em relação a ( x ) e ( y ) :

( f x x , y = ∂ ∂ x x 2 y 3 )

Para calcular ( f x x , y ) , usaremos a regra da cadeia:

( f x x , y = 1 3 x 2 y - 2 3 ⋅ ∂ ∂ x x 2 y \

f x x , y = 1 3 x 2 y - 2 3 ⋅ 2 x y \

f x x , y = 2 x y 3 x 2 y 3 )

Agora, calculemos ( f y x , y ) :

( f y x , y = ∂ ∂ y x 2 y 3 )

Usando a regra da cadeia novamente:

( f y x , y = 1 3 x 2 y - 2 3 ⋅ ∂ ∂ y x 2 y

f y x , y = 1 3 x 2 y - 2 3 ⋅ x 2

f y x , y = x 4 3 x 2 y 3 )

Agora, vamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas em (0, 0).

Continuidade das derivadas parciais em (0, 0):

A derivada parcial ( f x x , y ) é dada por:

( f x x , y = 2 x y 3 x 2 y 3 )

A derivada parcial ( f y x , y ) é dada por:

( f y x , y = x 4 3 x 2 y 3 )

Agora, avaliemos essas derivadas parciais em (0, 0):

( f x 0,0 = 2 0 0 3 0 2 0 3 = 0 )

( f y 0,0 = 0 4 3 0 2 0 3 = 0 )

Ambas as derivadas parciais são iguais a 0 em (0, 0), o que significa que são contínuas em (0, 0). Portanto, as derivadas parciais existem e são contínuas em (0, 0).

Como todas as derivadas parciais de ( f x , y ) existem e são contínuas em (0, 0), a função ( f x , y ) é contínua em (0, 0).

Passo 2

2. Derivadas direcionais em (0, 0):

Agora, vamos verificar as derivadas direcionais em (0, 0). A derivada direcional de ( f x , y ) em relação a um vetor de direção ( v = a , b ) é dada por:

( D v f 0,0 = ∇ f 0,0 ⋅ v )

Onde ( ∇ f 0,0 ) é o gradiente de ( f ) em (0, 0), e ( ⋅ ) denota o produto escalar.

Calculando o gradiente ( ∇ f 0,0 ) :

( ∇ f 0,0 = f x 0,0 , f y 0,0 = 0,0 )

Agora, escolhemos um vetor de direção ( v = a , b ) qualquer e calculamos a derivada direcional:

( D v f 0,0 = 0,0 ⋅ a , b = 0 )

Isso significa que a derivada direcional de ( f x , y ) em qualquer direção em (0, 0) é sempre igual a 0.

Passo 3

3. Diferenciabilidade em (0, 0):

Para verificar se ( f x , y ) é diferenciável em (0, 0), precisamos verificar se existe um plano tangente bem definido em (0, 0). Isso ocorre se e somente se todas as derivadas direcionais existirem em (0, 0) e forem lineares em relação a ( v ) .

Já mostramos que todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0. Além disso, todas as derivadas direcionais são constantes (iguais a 0), o que significa que são lineares em relação a ( v ) .

Portanto, a função ( f x , y ) é diferenciável em (0, 0).

Resumindo:

- A função ( f x , y = x 2 y 3 ) é contínua em (0, 0).

- Todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0 em todas as direções.

- A função ( f x , y ) é diferenciável em (0, 0).

Resposta

- A função ( f x , y = x 2 y 3 ) é contínua em (0, 0).

- Todas as derivadas direcionais existem em (0, 0) e são iguais a 0 em todas as direções.

- A função ( f x , y ) é diferenciável em (0, 0).

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