USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.3
2.3. Seja uma função diferenciável em . Fixado um certo , sabe-se que o plano tangente ao gráfico de no ponto tem equação . Determine, entre as curvas abaixo, uma que não pode ser a curva de nível de que contém o ponto :
a. ; b. ; c.
Passo 1
Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉
Nesse problema queremos descobrir qual das curvas dadas não pode ser curva de nível de no ponto qualquer em que o plano tangente a esse ponto é dado por .
Entendeu alguma coisa? 🤔
Para obter um plano tangente, podemos calcular o produto interno entre o gradiente da função com um vetor tangente a ela e igualar a , ou seja
Nesse caso, se a curva for uma curva paramétrica da curva de nível de , o produto interno entre o vetor e tem que ter pelo menos uma solução real...
Sacou? Bora começar! 😎
Passo 2
Primeiro vamos obter as coordenadas do vetor .
Pra isso, podemos usar a equação do plano tangente a no ponto , ou seja
Por igualdade de polinômios, vamos obter que
No nosso caso, só nos interessa e pois vamos trabalhar com curvas de níveis, onde é constante.
Agora vamos testar as curvas de níveis
Para
Nesse caso, temos duas soluções reais, e , então pode ser uma curva de nível de
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora vamos testar a curva
Aqui também temos duas soluções reais e novamente e
Por último, vamos testar a curva
Essa curva não tem soluções reais, portanto não é possível que ela seja curva de nível de .
Pegou o esquema? Responde Aí! 😁
Resposta
c)