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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia – 1 Parâmetro

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Exercício 401234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394142434445464748495051525354

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.1a

1.1. Calcule ∂ w ∂ t e ∂ w ∂ u pela regra da cadeia e confira os resultados por meio de substituição seguida de aplicação das regras de derivação parcial.

a. w = x 2 + y 2 ; x = t 2 + u 2 , y = 2 t u .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter as derivadas parciais de w com relação a t e com relação a u . Porém w está escrito como w = x 2 + y 2 e as variáveis x e y como x = t 2 + u 2 e y = 2 t u .

E aí, como vamos calcular essas derivadas? 🤔

A regra da cadeia em funções de uma variável nós já sabemos calcular. Mas e com funções de duas variáveis? Como fazemos?

Nesses casos, w é definido em x e y que por suas vezes são funções de u e t .

Então para calcular a regra da cadeia em funções de duas variáveis, temos que calcular a soma das regras da cadeia em cada variável de w , ou seja

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ t

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ u

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Começando com a derivada de w em função de t , temos

∂ w ∂ t = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ t + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ t

Como w = x 2 + y 2 , x = t 2 + u 2 e y = 2 t u ...

∂ w ∂ t = ∂ x 2 + y 2 ∂ x · ∂ t 2 + u 2 ∂ t + ∂ x 2 + y 2 ∂ y · ∂ 2 t u ∂ t

∂ w ∂ t = 2 x · 2 t + 2 y · 2 u

∂ w ∂ t = 4 x t + 4 y u

Substituindo x e y , vamos obter

∂ w ∂ t = 4 t 2 + u 2 t + 4 2 t u u

∂ w ∂ t = 4 t 3 + t u 2 + 8 t u 2

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada de w em relação a u

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x · ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y · ∂ y ∂ u

Substituindo w , x e y ...

∂ w ∂ u = ∂ x 2 + y 2 ∂ x · ∂ t 2 + u 2 ∂ u + ∂ x 2 + y 2 ∂ y · ∂ 2 t u ∂ u

∂ w ∂ u = 2 x · 2 u + 2 y · 2 t

∂ w ∂ u = 4 x u + 4 y t

Substituindo x e y , temos

∂ w ∂ u = 4 t 2 + u 2 u + 4 2 t u t

∂ w ∂ u = 4 u t 2 + u 3 + 8 t 2 u

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∂ w ∂ t = 4 t 3 + t u 2 + 8 t u 2

∂ w ∂ u = 4 u t 2 + u 3 + 8 t 2 u

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Use a regra da cadeia para achar d z d t ou d w d t . w = x e y z x = t 2 y = 1 - t z = 1 + 2 t
Use a regra da cadeia para determinar d z d t ou d w d t : z = x 2 + y 2 ,x = e 2 t,y = e - 2 t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .9. z = ln ⁡ 3 x + 2 y ,x = s ⋅ s e nt , y = t ⋅ cos ⁡ s
Calcule (d z)/(d t) usando a regra da cadeia:z = y e^x + x e^y , x = cos t , y = sin t .
Seja z = x y , onde x = f ( u ) e y = g ( u ) . Supondo f e g diferenciáveis, f 1 = 2 , g 1 = - 2 , d x d u 1 = - 1 e d y d u 1 = 5 , calcule d z d u ( 1 ) .