USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.5
1.5. Sejam , deriváveis até ordem. Mostre que é solução da equação
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema temos que mostrar que a função é solução da equação
E aí, como fazemos isso? 😊
Nesse caso, a função é uma função composta com , então para calcular a derivada de , temos que aplicar a regra da cadeia.
Parece de boa? 😐
Passo 2
Montando a equação que temos que provar, temos
Fazendo ...
Vamos analisar cada termo separadamente...
Derivando o primeiro termo pela primeira vez pela regra do produto, temos
Derivando pela segunda vez
Agora vamos derivar o segundo termo pela primeira vez...
Derivando pela segunda vez
Tranquilo até aqui? 😬
Passo 3
Agora vamos para
Primeiro derivamos com relação a ... como já fizemos esse cálculo anteriormente, vamos apenas escrever o resultado
Agora derivamos o resultado em função de
Para o termo
Primeiro derivando com relação a , vamos obter o mesmo resultado que já calculamos anteriormente, ou seja
Agora derivando o resultado em função de
Pela regra do produto, temos
Estamos quase lá! Aguenta aí 👀
Passo 4
Agora vamos calcular os termos de derivada de segunda ordem com relação a começando por
Calculando a derivada de primeira ordem, vamos obter
Derivando o resultado em função de novamente
E finalmente, o último termo dado por
Calculando a derivada de primeira ordem pela regra do produto...
Derivando o resultado em função de novamente
Agora é só correr para o abraço! 😁
Passo 5
Substituindo as derivadas que calculamos na equação do problema, vamos obter
Simplificando...
Tratando , , e como constantes, temos
Perceba que todos os termos se cancelam resultando em
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
