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Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 2.12

Sabe-se que f : R 2 → R é diferenciavel em R² e que o gráfico de f contém as imagens de ambas as curvas γ t = - t 2 , t 2 , t 2 e ζ u = u + 1 ,   u ,   u + 2 + 1 u ,   u ≠ 0 . Determine ∂ f ∂ u ( 1 2 , - 1 2 ) , onde u = 2 2 , 2 2 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver essa querida atividade. Nós queremos

∂ f ∂ u 1 2 , - 1 2 = ∇ f P 0 ∙ u | u |

Então primeiro iremos encontrar

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Para entendermos nossa situação, se uma curva α t = x t , y t , z t está contida no gráfico de f x , y então se você trocar x e y por x ( t ) e y t na função, isso será igual a z t :

f x t , y t = z t

Se derivarmos com relação ao tempo, as derivadas parciais vão aparecer:

d z d t = d d t f x t ,   y t

Pela regra da cadeia:

d z d t = ∂ f ∂ x ∙ d x d t + ∂ f ∂ y ∙ d y d t

Passo 2

Como a imagem da curva γ t = - t 2 , t 2 , t 2 está contida no gráfico de f, como α t = x t , y t , z t , temos que

x t = - t 2

y t = t 2

z t = t 2

Derivando

d x d t = - 1 2

d y d t = 1 2

d z d t = 1 2

Assim,

d z d t = ∂ f ∂ x ∙ d x d t + ∂ f ∂ y ∙ d y d t

1 2 = - 1 2 ∙ ∂ f ∂ x + 1 2 ∙ ∂ f ∂ y

Passo 3

Agora vamos olhar para a curva ζ u = u + 1 ,   u ,   u + 2 + 1 u . Vale a mesma relação que usamos para α :

d z d t = ∂ f ∂ x ∙ d x d t + ∂ f ∂ y ∙ d y d t

Aqui

x u = u + 1

y u = u

z u = 2 + 2 + 1 u

Com isso, obtemos

d x d u = 1

d y d u = 1

d z d u = - 1 u 2 + 1

Substituindo

- 1 u 2 + 1 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Vamos escolher para u o ponto - 1 2 , pois assim ficamos com u 1 2 , - 1 2

- 1 - 1 2 2 + 1 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

- 3 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

Passo 4

Agora temos um sistema de equações para resolver

1 2 = - 1 2 ∙ ∂ f ∂ x + 1 2 ∙ ∂ f ∂ y

- 3 = ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y

1 = - f x + f y

- 3 = f x + f y

- 2 = 2 f y

f y = - 1  

f x = - 2

Agora falta u | u |

∇ f 1 2 , - 1 2 ∙ u | u |

Onde u = 2 2 , 2 2

2 2 , 2 2 1 4 + 1 4

2 2 , 2 2 1 2

2 2 , 2 2 1 2

2 2 , 2 2 1 2

2 2 , 2 2 2

1,1

∇ f 1 2 , - 1 2 ∙ u u = - 2 , - 1 ∙ 1,1 = - 3

Resposta

- 3

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