USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.8
Seja função de classe em . Se , mostre que
e que
.
Passo 1
Eaew, tudo certinho com você?
Nós temos aqui uma função em duas dimensões de classe , se temos a seguinte parametrização de uma superfície
precisamos mostrar que
e também que
.
O segredo aqui é identificar que a parametrização nos indica que
e
e, portanto, expandindo o lado direito das equações podemos usar a regra da cadeia para obter o lado esquerdo, claro que após alguma manipulação! Vem comigo!
Passo 2
Vamos começar demonstrando
ou seja, vamos calcular as primeiras derivadas em termos de e usando a regra da cadeia! Começando com
de forma que obtemos
da mesma forma podemos calcular
que é equivalente à
se elevarmos as equações e ao quadrado temos que
Note que omiti o fato que está avaliada em por simplicidade. Vamos manipular essas equações agora!
Passo 3
Se somarmos as duas equações, temos que
note que podemos evidenciar os termos de e e usar a relação para obter
Se multiplicarmos tudo por temos então finalmente
como queríamos demonstrar. Vamos fazer a outra agora!
Passo 4
Vamos calcular agora as segundas derivadas em termos de e , temos que
usando a regra do produto e a regra da cadeia, temos que
ou simplesmente
da mesma forma podemos obter a segunda derivada em como
Somando ambas as expressões temos que
em que fiz um processo análogo ao caso anterior, finalmente, temos que
A questão foi essa! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!