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Exercícios Resolvidos de Derivação Implícita

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 4 - Regra da Cadeia, Vetor Gradiente, Questão 1.10

Seja F ( r , s ) = G ( e r s , r 3 c o s ( s ) ) , onde G = G ( x , y ) é uma função de classe 𝒞 2 em ℝ 2 . Determine ∂ 2 F ∂ r 2 ( 1,0 ) sabendo que ∂ G ∂ y ( t 2 + 1 , t + 1 ) = t 2 - 2 t + 3 .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos a seguinte definição para uma função parametrizada

F ( r , s ) = G ( e r s , r 3 c o s ( s ) )

como temos que G = G ( x , y ) de classe 𝒞 2 em ℝ 2 , podemos identificar que

x ( r , s ) = e r s e y ( r , s ) = r 3 c o s ( s )

isso será útil para aplicarmos a regra da cadeia no futuro. Nesta perspectiva, precisamos calcular

∂ 2 F ∂ r 2 ( 1,0 ) =   ?

se soubermos que

∂ G ∂ y ( t 2 + 1 , t + 1 ) = t 2 - 2 t + 3

Bem… o caminho será calcularmos as duas derivadas em termos de r e então usar a relação dada para a derivada de G em relação a y como base para vincular o resultado final! Saca só!

Passo 2

Calculando a primeira derivada em relação a r , temos que

∂ F ( r , s ) ∂ r = ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ r

usando a regra da cadeia temos que

∂ F ( r , s ) ∂ r = ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ x ∂ [ e r s ] ∂ r + ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ y ∂ [ r 3 c o s ( s ) ] ∂ r

simplificando, temos que

∂ F ( r , s ) ∂ r = s ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ x e r s + 3 r 2 c o s ( s ) ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ y

derivando novamente

∂ 2 F ( r , s ) ∂ r 2 = ∂   ∂ r { s ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ x e r s } + ∂ ∂ r { 3 r 2 c o s ( s ) ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ y }

usando a regra do produto

∂ 2 F ( r , s ) ∂ r 2 = s ∂   ∂ r ( e r s ) ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ x + s ∂ ∂ r { ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ x } e r s + ∂ ∂ r ( 3 r 2 ) c o s ( s ) ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ y + 3 r 2 c o s ( s ) ∂ ∂ r { ∂ G [ x ( r , s ) , y ( r , s ) ] ∂ y }

resolvendo algumas das derivadas conhecidas

∂ 2 F ( r , s ) ∂ r 2 = s 2 e r s ∂ G [ x , y ] ∂ x + s ∂ ∂ r { ∂ G [ x , y ] ] ∂ x } e r s + 6 r   c o s ( s ) ∂ G [ x , y ] ∂ y + 3 r 2 c o s ( s ) ∂ ∂ r { ∂ G [ x , y ] ∂ y }

em que estou omitindo a dependência em x ( r , s ) e y ( r , s ) por simplicidade, mas lembre dela pois é importante, tudo bem? Ainda precisamos aplicar a regra da cadeia novamente para expandir alguns termos! Vamos fazer isso!

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia

∂ 2 F ( r , s ) ∂ r 2 = s 2 e r s ∂ G [ x , y ] ∂ x + s ∂ 2 G [ x , y ] ∂ x 2 ∂ ∂ r [ e r s ] e r s + s ∂ 2 G [ x , y ] ∂ y ∂ x ∂ ∂ r [ 3 r 2 c o s ( s ) ] e r s + 6 r   c o s ( s ) ∂ G [ x , y ] ∂ y + 3 r 2 c o s ( s ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ x ∂ y ∂ ∂ r ( e r s ) + 3 r 2 c o s ( s ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ 2 y ∂ ∂ r ( 3 r 2 c o s ( s ) )

resolvendo algumas das derivadas mais simples, temos que

∂ 2 F ( r , s ) ∂ r 2 = s 2 e r s ∂ G [ x , y ] ∂ x + s 2 ∂ 2 G [ x , y ] ∂ x 2 e 2 r s + 6 r s   c o s ( s ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ y ∂ x e r s + 6 r   c o s ( s ) ∂ G [ x , y ] ∂ y + 3 s   r 2 c o s ( s ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ x ∂ y e r s + 18 r 3 c o s 2 ( s ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ 2 y

Uff… aplicando no ponto ( r , s ) = ( 1,0 ) obtemos

∂ 2 F ( 1,0 ) ∂ r 2 = 6 ( 1 )   c o s ( 0 ) ∂ G [ x , y ] ∂ y + 18 ( 1 ) 3 c o s 2 ( 0 ) ∂ 2 G [ x , y ] ∂ 2 y = 6 ∂ G [ x , y ] ∂ y + 18 ∂ 2 G [ x , y ] ∂ 2 y

Quase lá, mas ainda precisamos calcular a segunda derivada em relação a y ! Bora lá!

Passo 4

Como temos que

∂ G ∂ y ( t 2 + 1 , t + 1 ) = t 2 - 2 t + 3

agora temos uma redefinição, em que x ( t ) = t 2 + 1 e y ( t ) = t + 1 , ou seja, aplicando a regra da cadeia, temos que

∂ 2 G [ x , y ] ∂ y 2 = ∂ ∂ y [ ∂ G [ x , y ] ∂ y ] = ∂ t ∂ y ∂ ∂ t [ ∂ G [ x , y ] ∂ y ]

a dependência de t em y é dada por

t = y - 1 , portanto, ∂ t ∂ y = 1 , e podemos escrever

∂ 2 G [ x , y ] ∂ y 2 = ∂ ∂ t [ t 2 - 2 t + 3 ] = 2 t - 2

e, a nossa derivada se torna finalmente

∂ 2 F ( 1,0 ) ∂ r 2 = 6 [ t 2 - 2 t + 3 ] + 18 [ 2 t - 2 ] = 6 t 2 + 24 t - 18

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∂ 2 F ( 1,0 ) ∂ r 2 = 6 t 2 + 24 t - 18

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18. Seja g ( x ) uma função diferenciável tal que f x ,g x = 0 , para todo x ∈ D g . Mostre que g ' x = - ∂ f ∂ x x ,g x ∂ f ∂ y x ,g x Para todo x ∈ D g , com ∂ f ∂ y x ,g x ≠ 0 .
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20. f ( x , y , z ) e g ( x , y ) são funções diferenciáveis tais que, para todo ( x , y ) no domínio de g . f x , y ,g x , y = 0 . Suponha g 1,1 = 3 , ∂ f ∂ x 1,1 , 3 = 2 , ∂ f ∂ y 1,1 , 3 = 5 e ∂ f
Seja f x , y diferenciável em R 2 e tal que para todo ( x , y ) ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 Verifique que a função g u , v dada por f ( x , y ) , onde x = u + v e y = u é tal que ∂ g ∂ u = 0 .. Conclua que