Listas GMA de Cálculo IIIA da UFF - Lista 6

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) e o sólido limitado pelas superfícies e .

1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:

a) e o sólido limitado pelas superfícies e .

2) Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio . Ache o fluxo de de dentro para fora de .

3) Calcule

onde , é a fronteira do cilindro

e orientada para fora de .

4) Calcule

onde , é a superfícei esférica e a orientação normal exterior a .

5) Calcule o fluxo do campo , através do tetraedro limitado pelos planos coordenados e plano , onde é o normal unitária exterior a .

6) Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido limitado pelo cilindro e pelos planos e , com a normal apontando para fora do sólido.

7) Calcule o fluxo do campo , através da superfície aberta , com tendo componente positiva.

8) Seja . Determine o fluxo de através da parte do parabolóide que está acima do plano , sendo a normal com a componente não negativa.

Calcule , onde e é definida por e

10) Calcule o fluxo do campo , através da superfície do sólido definido por , com campo de vetores normais a apontando para fora de .

11) Seja o tetraedro de v��rtices , , e . Sejam a superfície lateral de , constituída pelas faces de que não estão no plano e um campo vetorial . Calcule , com a normal exterior a .

12) Seja a superfície cônica de vértice , , de base situada no plano com raio e com componente não negativa. Seja

Sendo de classe em . Calcule o fluxo de através de .

13) Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .

Questão 14) Seja a calota esférica dada pela equação , onde . Sobre fixe a orientação tal que . Calcule

Onde

15) Considere o campo vetorial , seja a calota esférica , com e raio . Sabendo que o fluxo de na direção da normal exterior é igual a , calcule o raio da calota.

Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.

17) Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que

Onde é a derivada direcional de na direção do vetor .

18) Seja de classe , tal que e

Para todo .

Calcule

Onde é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , , com vetor normal apontando para fora de .

19) Considere o campo vetorial , onde é de classe . Seja uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , e , . Sabendo que o fluxo de através de , de dentro para fora é igual a , calcule o valor de .

Encontre o fluxo do campo através da superfície , orientada positivamente, , onde , e , .

21) Calcule

Sendo , através de , orientada de forma que o vetor normal no ponto seja o vetor .

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

a) , o paraboloide , e apontando para fora de .

22) Verifique o teorema de Stokes, calculando as duas integrais do enunciado para...

b) , o hemisfério , orientada com normal unitária exterior a .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

a)

Onde é a interseção da esfera com o plano .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

b)

Onde é a interseção do plano com o cilindro .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

c)

Onde é a interseção do cilindro com o cone .

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:

d)

Onde é a fronteira do triângulo situado no plano , de vértices e .

24) Calcule

Sendo

E a interseção do paraboloide com o cilindro , orientada no sentido anti-horário se projetada no plano .

25) Calcule

Sendo

E a curva intersecção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .

26) Calcule

Onde é o contorno da parte do plano , que está no primeiro octante, no sentido anti-horário.

Calcule , onde e é a interseção do cilindro com o plano orientada no sentido anti-horário quando vista de cima

28) Calcule a circulação do campo ao redor da curva fronteira do triângulo recortado do plano pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.

29) Calcule

Onde é dada por , .

30) Calcule

Onde e é a intersecção da superfície com , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

31) Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera que está no primeiro octante, no sentido anti-horário quando vista de cima.

32) Calcule

Sendo dada por .

Seja o campo , tal que , onde é de classe com . Calcule , onde é a curva dada pela interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

34) Calcule

Sendo um campo em dado por

Onde é de classe , tal que em e é a intersecção da superfície com o plano , com uma orientação tal que quando projetada no plano produz um percurso no sentido horário.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

a) , , com , sendo a normal apontando para cima.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

b) , , e , sendo a normal apontando para cima.

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

c) , e , sendo tal que .

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

Em uma integral de linha e calcule:

a) , , com , , sendo a normal exterior.

Calcule onde , é formada pelas cinco faces do cubo que não estão no plano com exterior a , usando o teorema de Gauss.

Calcule onde , é formada pelas cinco faces do cubo que não estão no plano com exterior a , usando o teorema de Stokes.

37) Calcule

Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo positivo.

38) Calcule

Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , com o plano , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

39) Calcule

Onde e é a intersecção da superfície , com o plano , orientada no sentido de crescimento de .

40) Calcule

Onde e é a curva obtida como interseção da superfície , , e , orientada no sentido de crescimento de .

41) Calcule

Onde é a curva dada por

42) Calcule

Onde e é a curva parametrizada por

Calcule a integral do campo vetorial ao longo da curva interseção da superfície , com o plano , orientada no sentido de crescimento de .

Seja o campo vetorial

1. é conservativo? Por quê?
2. Calcule , se é a curva descrita por ,
3. Calcule , onde é a fronteira do plano , que fica no primeiro octante, orientada no sentido anti-horário.