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Exercícios Resolvidos de Função Potencial

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Enunciado

41) Calcule

∫ C   z e x z + y e x y + 6 x d x + x e x y + z e y z d y + x e x z + y e y z - sin ⁡ z d z

Onde C é a curva dada por

r → t = t 2 i → + t - 1 t - 3 j → + π t 3 k → ,                 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que F seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso

Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Nesse exercício ele fez F 1 = z e x z + y e x y + 6 x , F 2 = x e x y + z e y z e F → 3 = x e x z + y e y z - sin ⁡ z , mas as contas são as mesmas

1 º                               ∂ F 3 ∂ y = ∂ ∂ y x e x z + y e y z - sin ⁡ z = e y z  

2 º                                                             ∂ F 2 ∂ z = ∂ ∂ z x e x y + z e y z = e y z

3 º                                       ∂ F 1 ∂ z = ∂ ∂ z z e x z + y e x y + 6 x = e x z

4 º                             ∂ F 3 ∂ x = ∂ ∂ x x e x z + y e y z - sin ⁡ z = e x z

5 º                                                         ∂ F 2 ∂ x = ∂ ∂ x x e x y + z e y z = e x y

6 º                                     ∂ F 1 ∂ y = ∂ ∂ y z e x z + y e x y + 6 x = e x y

Vamos ter então

r o t F → = e y z - e y z , e x z - e x z ,   e x y - e x y = 0 ,   0 ,   0

Logo essa função é conservativa no domínio da função e onde estamos trabalhando.

Passo 2

Então sabemos que a função F → tem uma função potencial f . Agora, como a gente encontra ela mesmo? Bem, pela teoria é dessa forma aqui oh:

F → = ∇ f

Calma! Eu sei que é muita informação. Vamos com calma. Se lembra do gradiente de uma função escalar? Ele é o vetor das derivadas parciais, neh?

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Então...

F → = F 1 ,   F 2 ,   F 3 = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Pela igualde a gente só pode ter...

F 1 = ∂ f ∂ x

F 2 = ∂ f ∂ y

F 3 = ∂ f ∂ z

Como queremos encontrar a f (a tal da função escalar potencial), calculamos o inverso, ou seja, a integral...

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z

2 º     →             f = ∫     F 2 d y + B x ,   z

3 º     →             f = ∫     F 3 d z + C x ,   y

Cara, veja que quando integramos, não podemos esquecer de adicionar a constante de integração. Mas veja que elas não são bem constantes, ela é constante em relação a quem você está integrando, por exemplo: No primeiro caso

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z

Aparece uma função A y ,   z que é constante perto de x , mas é uma função em relação as outras variáveis, beleza? Não se esqueça disso heim!

Passo 3

Vamos achar a função f potencial então para a função vetorial. Pegando primeiro a primeira e integrando...

1 º     →             f = ∫     F 1 d x + A y ,   z     →

∫ z e x z + y e x y + 6 x d x + A y ,   z =

e x z + e x y + 3 x 2 + A y ,   z

Pela segunda igualdade agora...

2 º     →             f = ∫     F 2 d y + B x ,   z         →

∫ x e x y + z e y z d y + B x , z = e x y + e y z + B x , z

Indo agora pra última igualdade e também integrando...

3 º     →             f = ∫     F 3 d z + C x ,   y         →

∫ x e x z + y e y z - sin ⁡ z d z + C x , y = e x z + e y z + cos ⁡ z + C x , y

Passo 4

Vamo lá, pegando as três integrais que resolvemos e colocando próximas

1 º   →                   e x z + e x y + 3 x 2 + A y ,   z

2 º   →                                             e x y + e y z + B x , z

  3 º   →                   e x z + e y z + cos ⁡ z + C x , y

Agora o nosso trabalho basicamente é reunir esses caras desconsiderando os termos que se repetem...

f x ,   y ,   z = e x z + e x y + 3 x 2 + e y z + cos ⁡ z + k

Veja que as funções A , B e C não coloca, mas no lugar delas, coloca uma constante só k que é uma constante real (um número mesmo).

Passo 5

Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final na curva:

r → t = t 2 i → + t - 1 t - 3 j → + π t 3 k → ,                 0 ≤ t ≤ 1

Ela começa em t = 0

r 0 = 0 2 i → + 0 - 1 0 - 3 j → + π 0 3 k → = 0 ,   3 ,   0

E vai terminar em t = 1

r 1 = 1 2 i → + 1 - 1 1 - 3 j → + π 1 3 k → = 1 ,   0 ,   π

E a integral vai ficar, já que nos temos uma função potencial

∫ C F → ∙ d r → = f 1 ,   0 ,   π - f 0 ,   3 ,   0

∫ C F → ∙ d r → = e π + e 0 + 3 1 2 + e 0 + cos ⁡ π + k - e 0 + e 0 + 3 0 2 + e 0 + cos ⁡ 0 + k

∫ C F → ∙ d r → = e π + 4 + k - 4 + k   →

∫ C F → ∙ d r → = e π

Resposta

e π

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