3) Calcule
onde , é a fronteira do cilindro
e orientada para fora de .
Passo 1
Bem, o problema quer claramente que busquemos a resolução da integral de superfície:
Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:
1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)
2º - Aplicar o Teorema de Gauss.
Veja você que embora o campo é um pouco simpático com a gente, a superfície é uma superfície composta por outras três superfícies diferentes entre si (a casca de um tronco de cilindro):
O fato de ter uma superfície composta já é uma indicação de que vamos ter que pegar o segundo caminho, ou seja, resolver pelo Teorema de Gauss. Mas, se você quer mais certeza ainda, calcule o divergente...
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Pow, com um divergente simples desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!
Passo 2
O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:
Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido :
Se desenharmos como o problema nos sugeriu:
Yes! A superfície é fechada.
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - Superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado:
Passo 3
Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...
Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!
Passo 4
Como estamos falando de um pedaço de um cilindro, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:
Onde o Jacobiano dessa mudança é:
E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:
Passo 5
Não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:
Para encontrar a variação de e , devemos olhar pra projeção do sólido no plano ...
Veja que o raio varia dentro da superfície desde a origem até o raio máximo do cilindro que é ...
E o ângulo , bem, esse cara tá dando uma volta completa...
Já variação do , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:
Ou seja...
Passo 6
Retornando à integral que queremos resolver...
Onde vamos substituir tudo, não se esquecendo de colocar o Jacobiano...
Calculando a integral de dentro em ...
Substituindo os limites onde calculamos a integral, ou seja, em :
Pelo teorema de Gauss, então encontramos o valor que queríamos...