2) Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio . Ache o fluxo de de dentro para fora de .
Passo 1
Se o problema nos pediu fluxo de sobre uma superfície , com toda certeza o que ele está buscando é que façamos uma integral de superfície:
Para resolver essa integral, poderíamos seguir basicamente 2 caminhos:
1º - Fazer de uma forma direta (parametrizando e tudo mais)
2º - Aplicar o Teorema de Gauss.
Normalmente o Teorema de Gauss é mais fácil e mais rápido, mas a princípio não temos como garantir que método é mais fácil. Mas uma boa dica de qual caminho tomar é sempre calculando o divergente:
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Pow, com um divergente desses... Sim, o problema está pedindo que façamos por Gauss!
Passo 2
O teorema basicamente é a igualdade maravilhosa:
Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido :
Se desenharmos como o problema nos sugeriu, ou seja, uma esfera de raio 5 deslocada:
Yes! A superfície é fechada.
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - Superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado:
Passo 3
Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...
Então se queremos a integral de superfície, calculemos a integral tripla que cara, vai dar muito menos trabalho, acredita em mim!
Passo 4
Bem, quem é a integral de um ? Sim! Você já sabe que é o volume de um sólido...
Como é uma esfera de raio ...
Então pela igualdade de Gauss concluímos sem ter que calcular uma integral de superfície que o fluxo é...