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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

30) Calcule

∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → x ,   y ,   z = y z 2 i → + 2 x z j → + cos ⁡ x y z k → e C é a intersecção da superfície z = x 2 + y 2 com z = 10 - x 2 - y 2 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Bem, do modo diretão você pode desconfiar pois temos um cosseno de do produto das coordenadas e essa complexidade não é um bom sinal. Logo podemos pensar no:

O teorema de Stokes

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do paraboloide z = x 2 + y 2 ...

Com outro paraboloide z = 10 - x 2 - y 2 , mas dessa vez com a boca pra baixo e passando justamente por z = 10 ...

Veja alí a curva C ! Vou destacar ela aqui pra você, oh:

A intercessão dessas duas superfícies é a curva, e para saber onde elas estão se intercedendo matematicamente falando, podemos calcular o sistema com as duas equações...

z = x 2 + y 2   z = 10 - x 2 - y 2         →

10 - x 2 - y 2 = x 2 + y 2               →

2 x 2 + y 2 = 10   →

x 2 + y 2 = 5

Viu? A curva é uma circunferência de raio sendo o mesmo do raio 5 e como

z = x 2 + y 2 = 5

Podemos tirar que ela está sobre o plano z = 5 .

Veja que essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio plano z = 5 (um disquinho):

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = y z 2 , 2 x z ,   cos ⁡ x y z

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Como a curva gira no sentido anti-horário quando vista de cima... Então pela regra da mão direita a gente tem o vetor normal n → apontado lá pra cima...

Eis que elas agora sim estão orientadas positivamente, saca? :)

Passo 6

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Onde a gente pode encontrar esse rotacional numa boa fazendo...

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como

F → x ,   y ,   z = y z 2 , 2 x z ,   cos ⁡ x y z       →

Então...

r o t   F → = - sin ⁡ x y z ⋅ x z - 2 x ,   2 y z - - sin ⁡ x y z ⋅ y x ,   2 z - z 2 →

r o t   F → = - x z sin ⁡ x y z - 2 x ,   y x sin ⁡ x y z + 2 y z ,   2 z - z 2

Para calcular a integral de superfície e fugir da integral de linha, precisamos:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n →   d S .

Bora?

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

z = 5

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   5

Agora esses parâmetros x y estão variando dentro do círculo que é quem delimita o plano z = 5 ...

Então por hora, vamos apenas falar que o x e o y estão variando dentro da região circular de raio 1 que é o mesmo raio do cilindro...

x ,   y ∈ D

A gente até poderia usas as polares e descrever x e y , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.

Passo 8

Para o termo n →   d S , que é a nossa segunda tarefa na resolução da integral de superfície...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = 5

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   0 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   - x z sin ⁡ x y z - 2 x ,   y x sin ⁡ x y z + 2 y z ,   2 z - z 2 ⋅ 0 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ D   2 z - z 2   d x d y

Olha que maravilha, esses senos desparecem 😊! Ah! E mais! Como o z da superfície é igual a 5 , então...

∬ D   2 z - z 2   d x d y = ∬ D   10 - 25   d x d y =

- 15 ∬ D     d x d y

Poxa, a integral de   d x d y é a área de D ...

- 15 π R 2

Como o raio desse círculo em z = 5 é R = 5 ...

- 15 π R 2 = - 15 π 5 2 = - 75 π

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = - 75 π

Pelo teorema de Stokes...

∮ C   e - x 3 / 3 - y z d x + e - y 3 / 3 + x z + 2 x d y + e z 3 / 3 + 5 d z = - 75 π

Resposta

- 75 π

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