42) Calcule
Onde e é a curva parametrizada por
Passo 1
Com uma parametrização dessas o que podemos fazer é torcer que seja com campo conservativo para assim usarmos a função potencial, vamos verificar isso
Para descobrirmos se essa parada é conservativa temos que achar
Nesse exercício ele fez , e , mas as contas são as mesmas
Vamos ter então
Logo essa função é conservativa no domínio da função e onde estamos trabalhando.
Passo 2
Então sabemos que a função tem uma função potencial . Agora, como a gente encontra ela mesmo? Bem, pela teoria é dessa forma aqui oh:
Calma! Eu sei que é muita informação. Vamos com calma. Se lembra do gradiente de uma função escalar? Ele é o vetor das derivadas parciais, neh?
Então...
Pela igualde a gente só pode ter...
Como queremos encontrar a (a tal da função escalar potencial), calculamos o inverso, ou seja, a integral...
Cara, veja que quando integramos, não podemos esquecer de adicionar a constante de integração. Mas veja que elas não são bem constantes, ela é constante em relação a quem você está integrando, por exemplo: No primeiro caso
Aparece uma função que é constante perto de , mas é uma função em relação as outras variáveis, beleza? Não se esqueça disso heim!
Passo 3
Vamos achar a função potencial então para a função vetorial. Pegando primeiro a primeira e integrando...
Pela segunda igualdade agora...
Indo agora pra última igualdade e também integrando...
Passo 4
Vamo lá, pegando as três integrais que resolvemos e colocando próximas
Agora o nosso trabalho basicamente é reunir esses caras desconsiderando os termos que se repetem...
Veja que as funções , e não coloca, mas no lugar delas, coloca uma constante só que é uma constante real (um número mesmo).
Passo 5
Para nossa integral de linha devemos achar o ponto inicial e o final na curva:
Ela começa em
E vai terminar em
E a integral vai ficar, já que nos temos uma função potencial