23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva em:
d)
Onde é a fronteira do triângulo situado no plano , de vértices e .
Passo 1
AHHH! Se você não se lembra essa integral de linha é uma outra forma de escrever a integral de linha, mas não muda nada tá? Tipo
Onde é o vetor...
O teorema de Stokes basicamente é a igualdade entre a integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de um campo ...
E o que vamos fazer é calcular essa integral dupla e provar que é igual ao valor que o problema nos deu. Então bora comigo 😉
Passo 2
Bem, mas o Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:
1º - Uma curva fechada delimitando uma superfície .
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
3º - Superfície orientada positivamente.
Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!
Passo 3
A curva dada no problema é a fronteira do triângulo de vértices e . Para desenha-lo primeiro coloca esses pontos no espaço...
Depois é só desenhar o triângulo:
Veja alí a curva !
Essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio triângulo em cima do plano que o problema nos falou .
Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de (superfície 😊)
Passo 4
A outra condição é:
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
Ora, sim! Basta ver o campo
Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por em algum ponto ou algo assim.
Passo 5
3º - Superfície orientada positivamente.
Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se a curva estiver girando no sentido anti-horário quando vista de cima... Então pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície
Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?
Observação importantíssima: Cara, a gente não tem a informação na verdade para onde a curva está girando, inclusive isso é uma das coisas que precisamos descobrir. Então por enquanto assumimos que esse é o sentido e se o valor que encontrarmos for com sinal contrário, então saberemos qual é o sentido verdadeiro, saca? 
Passo 6
Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:
Calculando o rotacional
Então...
Precisamos agora:
1º - Parametrizar a superfície
2º - Encontrar o termo
Passo 7
Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...
Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o é um cara livre (parâmetro) e depende de que também é um cara livre...
A projeção do triângulo laranja no plano é justamente esse triângulo amarelo:
Os parâmetros variam justamente nesse triangulo amarelo. Por hora então, vamos apenas falar que o e o variam nessa projeção só para não perdermos o foco na integral de superfície 😉
Passo 8
Para encontrar o termo façamos...
Onde o é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função ...
Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D
Então...
Passo 9
Jogando esses dados então na integral de superfície...
A integral de nada mais é do que a área.
Pow, área do triângulo amarelo é conhecida
Onde é a base e é a altura. Observando o triângulo, percebemos que
e a base é
Veja que pelo teorema de Stokes de fato a integral de linha vale...
Só tem um detalhe no sinal, pois encontramos o sinal positivo e não negativo como era pra ser, isso porquê quando escolhemos o sentido da curva escolhemos o contrário do que realmente acontece... Logo a curva gira no senti horário quando vista de cima.
Resposta
A curva gira no sentido anti-horário quando vista de cima.