1) Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para:
a) e o sólido limitado pelas superfícies e .
Passo 1
Bem, sabemos que vamos resolver o problema pelo Teorema de Gauss, mas antes, o próprio enunciado nos pede para verificar o Teorema de Gauss, ou seja, verifica se podemos aplicar o Teorema:
1º - Precisamos de uma superfície fechada:
Se desenharmos ...
Yes! A superfície é fechada.
2º - Não podemos ter singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - A terceira condição do Teorema nos exige a superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por elas:
Como o enunciado não nos disse nada sobre isso, sempre assumimos que isso está ocorrendo ;)
Passo 2
Condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar o Teorema de Gauss:
Ou seja, a integral o fluxo do campo sobre o bordo da região é a integral tripla do divergente. Teorema lindão, neh? Então se queremos calcular esse fluxo, basta calcular a integral tripla, bora?
Passo 3
Primeiro, calculemos o divergente desse campo:
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Logo a integral tripla que teremos que calcular é:
Passo 4
Essa integral tripla que gerou é igual ao volume de :
Porém o sólido está dentro de um paraboloide, ou seja, essa informação pra gente não serve de muita coisa, neh? Então vamos resolver na marra mesmo, ou seja, primeiro descrever a região:
Como estamos falando de um pedaço de um paraboloide, podemos utilizar as mudanças para coordenadas cilíndricas:
Onde o Jacobiano dessa mudança é:
E uma equação que nos ajuda muito é a equação do cilindro:
Passo 5
Bem, não devemos sair de uma mudança de coordenadas sem antes dizer onde os parâmetros variam:
Para encontrar a variação de e , devemos olhar pra projeção do sólido no plano ...
Veja que essa projeção se parece muito pelo método gráfico com um círculo. Não podemos ficar no “se parece” neh? Devemos ter certeza, por isso vamos encontrar a equação dessa projeção.
Observe que ela é o encontro da equação do plano com a equação do paraboloide:
Veja que a intersecção de fato é uma circunferência de raio , onde podemos concluir que o Raio ...
E o ângulo ...
Já variação do , bem ele é o cara que varia de cima pra baixo no sólido:
Ou seja...
Agora, se estamos em coordenadas polares...
Passo 6
Voltando então para a integral que devemos resolver:
Substituindo tudo...
Calculando a integral de dentro...
Agora a do meio...
Como pelo teorema de Gauss...
Então o fluxo de é...