17) Seja de classe . Seja um sólido e seja a fronteira de , com normal exterior . Prove que
Onde é a derivada direcional de na direção do vetor .
Passo 1
Caraca, quando batemos o olho nessa igualdade entre uma integral de superfície e uma tripla, o que podemos pensar? No Teorema de Gauss 😉
Então perceba que precisamos arrumar um jeito de se obter essa igualdade, pois se obtida, está provada pelo teorema de Gauss, sacou? Então venha comigo 😊
Passo 2
Pow, primeiro, vou precisar que você relembre o que é uma derivada direcional: é a derivada que tá não na direção de ou , é a derivada que tá na direção de um vetor unitário qualquer
Pela definição de derivada direcional, podemos calcula-la fazendo o produto escalar entre o vetor normal e o gradiente da função.
Na integral de superfície...
HUMMM! Veja que interessante esse dado! Se chamarmos o gradiente de um campo de vetores de
Então...
Veja que isso pode ser feito perfeitamente, afinal o gradiente é um vetor e também 😉! Inclusive, apenas de curiosidade, campos que tem essa característica são os tais de campos conservativos, se lembra?
Passo 3
Por outro lado, na integral tripla, precisamos de ter isso aqui...
O divergente de é dado matematicamente falando pelo produto escalar entre o operador e o . Essa é a definição dele, ok?
Esse operador recebe um nome especial... Recebe o nome de Laplaciano!
Bem, pelo Teorema de Gauss, então podemos afirmar que...
Sacou? 😉
Resposta
Prova pelo Teorema de Gauss.