Calcule , sendo e a parte da esfera , com , orientada com exterior.
Passo 1
Vamos começar entendo como é essa esfera
Temos uma esfera de centro e raio . A integral que ele quer é
Vamos achar o rotacional dessa função
Repara que se pegarmos o divergente desse rotacional ele vai dar , então fica interessante aplicar o teorema de Gauss, o detalhe é que teremos que fechar essa região, vamos pegar o circulo
Isso porque esse vai ser o círculo quando , se fizermos ele como e a parte da esfera como vamos ter a calota da esfera tampada e vamos poder aplicar o teorema de Gauss sem problemas.
Passo 2
Aplicando o teorema de Gauss vamos ter
Assim vamos ter
Vamos precisar só calcular a integral dupla ao longo de
Passo 3
Vamos começar achando o vetor normal a essa superfície
Como ela está no plano o vetor normal apontando para fora vai ser
Com
Vamos usar coordenadas cilíndricas nesse cara
E vamos ter
Passo 4
A nossa integral vai ficar
Lembrando que
Vamos ter
Passo 5
Voltando as integrais de superfície
Substituindo o valor que nos achamos