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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

24) Calcule

∮ C   F → ⋅ d r →

Sendo

F → = x - y 2 i → + x - z + y 2 2 + sin ⁡ y j → + y   k →

E C a interseção do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido anti-horário se projetada no plano x y .

Passo 1

Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:

1º - Resolver pelo método diretão.

2º - Resolver pelo teorema de Stokes.

Pow, queremos uma integral de linha de um campo nada bonito sobre uma curva também não muito bonita (mesmo sem saber quem ela é a gente já pode perceber que ela não é algo trivial). Isso já é um indício de que o melhor caminho seguirmos é o teorema de Stokes.

Mas se você quer uma prova mais visual podemos calcular o Rotacional de F → ...

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Como

F → x ,   y ,   z = x - y 2 , x - z + y 2 2 + sin ⁡ y ,   y       →

Então...

r o t   F → = 1 - - 1 ,   0 - 0 ,   1 - - 2 y →

r o t   F → = 2 ,   0 ,   1 + 2 y

Pow, com um rotacional desse é a prova visual de que Stokes pode ser bem mais elegante, saca?

Passo 2

Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!

Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do paraboloide 4 z = x 2 + y 2 ...

Com um cilindro de raio 2 ( x 2 + y 2 = 4 ):

Veja alí a curva C ! Vou destacar ela aqui pra você, oh:

A intercessão dessas duas superfícies é a curva, e para saber onde elas estão se intercedendo matematicamente falando, podemos calcular o sistema com as duas equações...

4 z = x 2 + y 2   x 2 + y 2 = 4         →

4 z = 4               →

z = 1

Viu? A curva é uma circunferência de raio sendo o mesmo do raio do cilindro ( r = 2 ) e ela está sobre o plano z = 1 .

Veja que essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio plano z = 1 (um disquinho):

Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = x - y 2 , x - z + y 2 2 + sin ⁡ y ,   y

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, como a projeção da curva no x y gira no senti anti-horário...

Então a curva também gira:

Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 6

Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Para calcular a integral de superfície, precisamos:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n →   d S .

Bora?

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...

z = 1

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   1

Agora esses parâmetros x y estão variando dentro do cilindro que é quem delimita o plano z = 1 ...

Então por hora, vamos apenas falar que o x e o y estão variando dentro da região circular de raio 2 que é o mesmo raio do cilindro...

x ,   y ∈ D

A gente até poderia usas as polares e descrever x e y , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.

Passo 8

Para o termo n →   d S ...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = 1

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = 0 ,   0 ,   1

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = 0 ,   0 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   2 ,   0 ,   1 + 2 y ⋅ 0 ,   0 ,   1   d x d y =

∬ D   1 + 2 y   d x d y

Agora sim estamos falando de uma integral dupla onde D é o círculo de raio 2 . Podemos então usar as polares para trocar

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

E não se esquecer do Jacobiano:

J = r

Como r está dentro do círculo, ele tem os seus limites na origem e no raio máximo que é...

0 ≤ r ≤ 2

Enquanto θ da uma volta completa...

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 10

Trocando tudo na integral dupla não se esquecendo de multiplicar a função pelo Jacobiano...

∬ D   1 + 2 y   d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 1 + 2   r sin ⁡ θ ⋅ J   d r d θ =

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r + 2   r 2 sin ⁡ θ d r d θ

Integrando em r ...

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r + 2   r 2 sin ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π r 2 2 + 2 r 3 3 sin ⁡ θ 0 2 d θ =

∫ 0 2 π 2 2 2 + 2 2 3 3 sin ⁡ θ d θ = ∫ 0 2 π 2 + 16 3 sin ⁡ θ d θ =

Integrando em θ agora...

∫ 0 2 π 2 + 16 3 sin ⁡ θ d θ = 2 θ - 16 3 cos ⁡ θ 0 2 π =

4 π

Logo, por Stokes encontramos que...

∮ C   F → ⋅ d r → = 4 π

Resposta

4 π

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