29) Calcule
Onde é dada por , .
Passo 1
Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:
1º - Resolver pelo método diretão.
2º - Resolver pelo teorema de Stokes.
Bem, do modo diretão você pode desconfiar que não é neh, pois ele já até nos deu a curva parametrizada! Oh e além disso um exponencial elevado um cosseno não é nada fácil de se trabalhar. Por isso, podemos pensar em fazer pelo segundo método mesmo:
O teorema de Stokes
Passo 2
Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:
Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!
Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:
1º - Uma curva fechada delimitando uma superfície .
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
3º - Superfície orientada positivamente.
Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!
Passo 3
A curva dada no problema é a curva parametrizada dessa fora:
Veja aqui que
E com essas igualdades podemos tirar algumas concussões:
- Primeiro que estamos trabalhando com alguém no plano , afinal esse cara é sempre dois na parametrização.
- Segundo que costumamos parametrizar o e o dessa forma (com cosseno e seno) quando se trata de uma circunferência:
Eita! Com essas conclusões a gente chega que só podemos estar falando da circunferência de raio em cima do plano ...
Essa curva é obviamente fechada e ela delimita uma superfície muito bacana dentro dela: o círculo no plano 😊
Passo 4
A outra condição é:
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
Ora, sim! Basta ver o campo
Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por em algum ponto ou algo assim.
Passo 5
3º - Superfície orientada positivamente.
Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, com a parametrização dessa forma aqui:
Então a curva só pode estar girando no sentido anti-horário, afinal essa parametrização é manjada e sempre acontece isso 😉
Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície circular
Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?
Passo 6
Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:
Onde a gente pode encontrar esse rotacional numa boa fazendo...
Como
Então...
Para calcular a integral de superfície e fugir da integral de linha, precisamos:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Bora?
Passo 7
Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...
Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o é um cara livre (parâmetro) e depende de que também é um cara livre...
Agora esses parâmetros estão variando dentro do círculo que é quem delimita o plano ...
Então por hora, vamos apenas falar que o e o estão variando dentro da região circular de raio que é o mesmo raio do cilindro...
A gente até poderia usas as polares e descrever e , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.
Passo 8
Para o termo , que é a nossa segunda tarefa na resolução da integral de superfície...
Onde o é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função ...
Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D
Então...
Passo 9
Jogando esses dados então na integral de superfície...
Como o da superfície é igual a , então...
Poxa, a integral de é a área de ...
Como o raio desse círculo em é ...
Pelo teorema de Stokes...