19) Considere o campo vetorial , onde é de classe . Seja uma lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por , , e , . Sabendo que o fluxo de através de , de dentro para fora é igual a , calcule o valor de .
Passo 1
Sabemos que o fluxo de um campo sobre uma superfície é dado por uma integral de superfície dessa forma aqui:
Mas se você notar bem o campo que o problema nos deu, vai reparar num detalhe:
Não temos muitas informações sobre a função 😐
Mas não se preocupe! O Teorema de Gauss pode ser a nossa salvação 😉!
Passo 2
Mas não podemos aplicar essa integral assim... De qualquer forma. Precisamos averiguar as condições do Teorema que nos pede:
1º - Uma superfície fechada delimitando o sólido .
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
3º - Superfície orientada positivamente.
Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!
Passo 3
Quanto ao primeiro quesito, ter uma superfície fechada, já falhamos. Afinal de contas a nossa lata é uma superfície aberta na parte de cima em :
Ora! Se a lata só não é fechada por um círculosinho em cima do plano , fechamos esse cara com essa tampa!
A essa superfície que acabamos de adicionar, daremos um nome de , mas não se preocupe, é apenas um nome ok?
Passo 4
2º - Sem singularidades na função Vetorial:
Esse campo Vetorial funciona em todas as situações, afinal ele não tem nenhuma divisão por ou algo do tipo.
3º - Superfície orientada positivamente:
Bem, isso significa que precisamos de uma superfície com vetores normais saindo do sólido fechado por ela, o que já acontece lá do enunciado, afinal ele pede que o fluxo esteja saindo do sólido. Então é pra fora que o nosso vetor aponta (orientada positivamente 😉)
Passo 5
Bem, com as três condições sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade do Teorema sem nenhuma restrição...
Aqui só tenho um detalhe que preciso te falar! A integral de superfície do teorema é calculada em cima da superfície que fecha o sólido . E esse cara é
Logo, temos que desmembrar a integral de superfície em duas...
Vamos só fazer mais simplificações aqui... Passando a integral de pro outro lado...
Passo 6
Eu sei que parece loucura trocar o cálculo de uma integral de superfície por outras duas integrais! Mas pode acreditar talvez é o único jeito mesmo ainda mais nesse caso 😐!
Mas vamos começar aqui então pela integral tripla...
O divergente de pode ser calculado facilmente apenas derivando parcialmente...
Como
Calculando as derivadas parciais:
Logo...
Passo 7
Essa integral se mata fazendo uma mudança para coordenadas cilíndricas...
Onde o no cilindro varia de até o raio máximo que é o raio do cilindro :
Quanto ao , bem vemos que na lata ele precisa de dar uma volta completa...
Quanto a variação de , basta ver que o cilindro varia de até a altura máxima que é ...
Passo 8
Jogando essa mudança na integral tripla não se esquecendo de multiplicar pelo Jacobiano a função já trocada pelas novas coordenadas:
Agora é só continhas mesmo, veja:
Lembre-se de que é um número e que a gente quer encontrar:
Passo 9
Concluímos uma etapa, mas ainda nos falta encontrar qual é o resultado da integral de superfície de em cima de superfície que adicionamos, ou seja, a tampa onde ...
O vetor por ser um vetor normal unitário apontado pra cima... Pode ser escrito como...
Logo...
Resolvendo esse produto escalar...
Agora é s�� calcular essa integral de superfície do caso escalar 😉!
Passo 10
Estamos em cima do plano , logo...
Como a integral de superfície de é a área de (um círculo de raio )...
Passo 11
Veja bem, encontramos o valor da integral em . Mas como vimos do teorema de Gauss...
Então
Como a integral de superfície em pelo enunciado valia...
Então...
Como , então o raio só pode ser...