Listas GMA de Cálculo IIIA da UFF - Lista 5

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) parte da esfera , que fica acima do plano .

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) parte do cilindro , que fica acima do plano e .

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

a) parte do plano , no interior do cilindro .

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

d) cone gerado pela semireta , , girando-a em torno do eixo .

1) Parametrize as superfícies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

e) superfície de revolução obtida girando o segmento de reta , , , em torno do eixo .

1) Parametrize as superfícies baixo, indicando o domínio dos parâmetros:

f) parte do cilindro , que fica entre e .

1) Parametrize as superficies abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:

: superfície de revolução obtida girando a curva , com , em torno do eixo .

2) Seja uma superfície parametrizada por e

1. Identifique essa superfície
2. Encontre uma equação da reta normal a em
3. Encontre uma equação do plano tangente a em

3) Calcule a área da superfície dada por , com : .

4) Calcule a área das superfícies:

a) porção do plano , que está dentro do cilindro .

4) Calcule a área das Superfícies:

b) Parte da esfera , interior ao cone

4) Calcule a área das superfícies:

c) porção do cilindro , entre os planos e .

4) Calcule a área das superfícies:

d) parte do cilindro , limitado pelo plano e o .

4) Calcule a área das superfícies:

e) superfície gerada pela rotação do conjunto em torno do eixo .

4) Calcule a área das superfícies:

f) superfície gerada pela rotação do segmento de reta , , em torno do eixo .

4) Calcule a área das superfícies:

g) parte da superfície , compreendida entre os planos , , e .

4) Calcule a área das superfícies:

h) parte do cone , que se encontra dentro do cilindro , fora do cilindro .

Calcule a área da superfície da esfera de raio , centrada na origem, limitada por dois paralelos e dois meridianos, sabendo que o ângulo entre os meridianos é e a distância entre os planos que contêm os paralelos é .

6) Seja a superfície de equação , , . Sabendo-se que a área de vale , determine o valor de .

Deseja-se construir uma peça de zinco que tem a forma da superfície de equação , compreendida entre os planos e e o cilindro . Se o metro quadrado do zinco custa reais, calcule o preço total da peça.

8) O cilindro divide a esfera em duas regiões e , onde está no interior do cilindro e fora. Ache a razão das áreas .

9) Calcule

Onde

a) e , com , .

9) Calcule

Onde

a) e , , com .

9) Calcule

Onde

c) e S é a região retangular com vértices , e .

9) Calcule , onde

d) e é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e .

9) Calcule

Onde

e) e é a porção da esfera , limitada pelos planos e .

9) Calcule

Onde

e) e é a parte da superfície cônica , limitada por , com .

9) Calcule

Onde

e) e é a porção do cilindro , , no primeiro octante, entre os planos e .

9) Calcule

Onde

h) e , com .

Suponha que , onde é a função de uma variável, tal que . Calcule , onde é a esfera

11) Calcule a massa da superfície parte do plano dentro do cilindro , sendo a densidade dada por .

12) Seja a porção do cilindro , com , limitada pelo plano e pelo plano . Calcule a massa de , sabendo que a densidade de massa em um ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

13) Seja a superfície do sólido limitado inferiormente pelo paraboloide e superiormente pelo plano . Se a densidade de massa é dada por , calcule a massa de .

14) Seja a porção da esfera que se encontra dentro do paraboloide

Calcule a massa de sabendo que a densidade de massa em cada ponto é igual ao quadrado da distância do ponto ao eixo .

Seja a superfície de rotação obtida girando em torno do eixo . Calcule a massa de , sabendo que a densidade em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao eixo .

16) Determine o momento de inércia em relação ao eixo da superfície , limitada por e , sendo a densidade

Mostre que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de comprimento e raio da base , com densidade constante, em relação a um diâmetro do círculo cujo centro coincide com o centro da casca cilíndrica, é , onde é a massa total.

18) Calcule o momento de inércia da superfície homogênea, de massa , de equação , , com , em torno do eixo .

19) Uma lâmina tem a forma de um hemisfério de raio de raio . Calcule o momento de inércia dessa lâmina em relação a um eixo que passa pelo polo e é perpendicular ao plano que delimita o hemisfério. Considere a densidade no ponto da lâmina proporcional à distância desse ponto ao plano que delimita o hemisfério.

20) Mostre que o momento de inércia em relação ao eixo da casca do cone de altura que está no primeiro octante com densidade constante é , onde é a massa total.

21) Calcule o momento de inércia da superfície esférica de raio , homogênea, de massa , em torno de qualquer diâmetro.

22) Calcule o centro de massa da superfície homogênea, parte da superfície cônica , compreendida entre os planos e .

23) Calcule

a) e é a parte da esfera fora do cilindro , apontando para fora.

23) Calcule

b) e é a parte do cilindro , situado no primeiro octante, entre e , apontando para o eixo .

23) Calcule

c) e é a superfície do sólido limitado por , , e o plano , com exterior.

23) Calcule

d) e é a união da superfície

, , com , , indicando a orientação escolhida para .

23) Calcule

e) e é a parte da superfície de revolução obtida girando o segmento de rata que liga a , em torno do eixo , com tendo a componente não negativa.

23) Calcule

f) e é a semiesfera , , com exterior.

23) Calcule

g) e é a superfície plana limitada pelo triângulo de vértices , e , com tendo a componente não negativa.

23) Calcule

h) e é a parte do plano , limitada pelo cilindro , com tal que .

Calcule , onde

e é a esfera , com exterior.

23) Calcule

j) e : , , , com exterior.

23) Calcule

k) e é a parte da esfera , , no primeiro octante e apontando para a origem.

23) Calcule

l) e é a união dos planos , com , e , com , , indicando a orientação escolhida para .

Calcule o fluxo de , através da superfície de revolução obtida girando o segmento de reta que liga o ponto a em torno do eixo , onde o vetor tem componente não negativa.

Calcule o fluxo de , através da superfície , parte do cilindro , limitado pelo plano e pelo cone , com vetor normal apontando para fora de .