Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

Ver Teoria
Exercício 231234567891011121314151617181920212224252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

23) Use o teorema de Stokes para mostrar que a integral de linha é igual ao valor dado, indicando a orientação da curva C em:

c)

∮ C   2 x y d x + 1 - y z + x 2 + x d y + x 2 2 + e z d z = π

Onde C é a interseção do cilindro x 2 + y 2 = 1 com o cone z = x 2 + y - 1 2 .

Passo 1

AHHH! Se você não se lembra essa integral de linha é uma outra forma de escrever a integral de linha, mas não muda nada tá? Tipo

∮ C   2 x y d x + 1 - y z + x 2 + x d y + x 2 2 + e z d z = ∫ C   F → ⋅ d r →

Onde F → é o vetor...

F x ,   y ,   z = 2 x y ,   1 - y z + x 2 + x , x 2 2 + e z

O teorema de Stokes basicamente é a igualdade entre a integral de linha com uma integral de superfície do rotacional de um campo F → ...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

E o que vamos fazer é calcular essa integral dupla e provar que é igual ao valor que o problema nos deu. Então bora comigo 😉

Passo 2

Bem, mas o Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 3

A curva C dada no problema é a intersecção do cilindro de raio 1

com o cone que está deslocado uma unidade para a direita

Veja aqui a curva C na intercessão das duas!

Veja que essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é o próprio pedacinho de cone amarelo. Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de S (superfície S 😊)

Passo 4

A outra condição é:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F x ,   y ,   z = 2 x y ,   1 - y z + x 2 + x , x 2 2 + e z

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

Passo 5

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, se a curva estiver girando no sentido anti-horário quando vista de cima...

Então pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Observação importantíssima: Cara, a gente não tem a informação na verdade para onde a curva está girando, inclusive isso é uma das coisas que precisamos descobrir. Então por enquanto assumimos que esse é o sentido e se o valor que encontrarmos for com sinal contrário, então saberemos qual é o sentido verdadeiro, saca?

Passo 6

Bem, nas condições do Teorema podemos sim aplicar a igualdade de boa:

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Calculando o rotacional

r o t   F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Então...

F x ,   y ,   z = 2 x y ,   1 - y z + x 2 + x , x 2 2 + e z           →

r o t   F → = 0 - 1 - y ,   0 - x ,   2 x + 1 - 2 x →

r o t   F → = y - 1 ,   - x ,   1

Precisamos agora:

1º - Parametrizar a superfície S .

2º - Encontrar o termo n → d S .

3º - Trocar os termos do r o t F → pelos termos da parametrização.

Passo 7

Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um cone...

z = x 2 + y - 1 2

Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o x é um cara livre (parâmetro) e z depende de y que também é um cara livre...

σ x ,   y = x ,   y ,   x 2 + y - 1 2

Agora esses parâmetros na verdade variam dentro do cilindro...

x 2 + y 2 = 1

Por hora então, vamos apenas falar que o x e o y variam nessa projeção só para não perdermos o foco na integral de superfície 😉

Passo 8

Para encontrar o termo n → d S façamos...

n → d S = N →   d x d y

Onde o N → é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função z x ,   y ...

z x ,   y = x 2 + y - 1 2

N → = - ∂ z ∂ x ,   - ∂ z ∂ y ,   1 →

N → = - 1 2 x 2 + y - 1 2 ⋅ 2 x ,   - 1 2 x 2 + y - 1 2 ⋅ 2 y - 1 ,   1       →

N → = - x x 2 + y - 1 2 ,   - y - 1 x 2 + y - 1 2 ,   1       →

Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D

Então...

n → d S = - x x 2 + y - 1 2 ,   - y - 1 x 2 + y - 1 2 ,   1   d x d y

Passo 9

Jogando esses dados então na integral de superfície...

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∬ D   y - 1 ,   - x ,   1 ⋅ - x x 2 + y - 1 2 ,   - y - 1 x 2 + y - 1 2 ,   1   d x d y =

∬ D   - x y - 1 x 2 + y - 1 2 + x y - 1 x 2 + y - 1 2 + 1   d x d y =  

∬ D   1   d x d y

Onde D é o cilindro (ou círculo se vista no plano x y )...

x 2 + y 2 = 1

A integral de 1 d x d y nada mais é do que a área.

∬ D     d x d y = Á r e a   d e   D

Pow, área do círculo é conhecida...

∬ D     d x d y = π R 2

Como o raio de D é 1 (cilindro de raio 1 )...

∬ D     d x d y = π

Veja que pelo teorema de Stokes de fato a integral de linha vale...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = π

Como o sinal foi exatamente o mesmo do sinal dado, significa que adotamos a curva girando no sentido correto, ou seja no sentido anti-horário quando vista de cima para baixo 😉

Resposta

∫ C   F → ⋅ d r → = ∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = π

A curva gira no sentido anti-horário quando vista de cima.

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S r o tF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 16 , y ≥ 0 , orientado em direção do eixo positivo d
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção posi
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y c o s c o szi → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x .
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê