25) Calcule
Sendo
E a curva intersecção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando projetada no plano .
Passo 1
Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:
1º - Resolver pelo método diretão.
2º - Resolver pelo teorema de Stokes.
Pow, queremos uma integral de linha de um campo nada bonito sobre uma curva também não muito bonita (mesmo sem saber quem ela é a gente já pode perceber que ela não é algo trivial). Isso já é um indício de que o melhor caminho seguirmos é o teorema de Stokes.
Mas se você quer uma prova mais visual podemos calcular o Rotacional de ...
Como
Então...
Pow, com um rotacional desse é a prova visual de que Stokes pode ser bem mais elegante, saca?
Passo 2
Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:
Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!
Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:
1º - Uma curva fechada delimitando uma superfície .
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
3º - Superfície orientada positivamente.
Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!
Passo 3
A curva dada no problema é a intersecção do cilindro ...
Com um plano (paralelo ao )
Veja aqui a curva na intersecção!
Essa curva delimita várias superfícies, mas uma mais simples que a você deve ter notado é a que está no próprio plano (um disquinho deitado).
Bem, a essa superfície daremos um nome hiper carinhoso de (superfície 😊)
Passo 4
A outra condição é:
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
Ora, sim! Basta ver o campo
Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por em algum ponto ou algo assim.
Passo 5
3º - Superfície orientada positivamente.
Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente, ou seja, como a projeção da curva no gira no senti anti-horário, então a curva também gira:
Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície
Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?
Passo 6
Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:
Para calcular a integral de superfície, precisamos:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Bora?
Passo 7
Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...
Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o é um cara livre (parâmetro) e depende de que também é um cara livre...
Agora esses parâmetros estão variando dentro do cilindro que é quem delimita o plano ...
Então por hora, vamos apenas falar que o e o estão variando dentro da região circular de raio que é o mesmo raio do cilindro...
A gente até poderia usas as polares e descrever e , mas a gente não pode perder o foco neh? Depois a gente faz isso então.
Passo 8
Para o termo ...
Onde o é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função ...
Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D
Então...
Passo 9
Jogando esses dados então na integral de superfície...
Agora sim estamos falando de uma integral dupla onde é o círculo de raio .
Como a integral de um é a área de ...
Então por Stokes...