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Exercícios Resolvidos de Teorema de Stokes

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Enunciado

35) Utilizando o teorema de Stokes, transforme

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Em uma integral de linha e calcule:

a) F → x ,   y ,   z = x 2 y i → + 2 y 3 z j → + 3 z k → , S :     r → r ,   θ = r cos ⁡ θ i → + r sin ⁡ θ j → + r k → , com 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π , sendo n → a normal exterior.

Passo 1

Pelo próprio problema, temos que transformar a integral de superfície em uma integral de linha. Ora! O teorema de Stokes já nos dá essa igualdade:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Agora, para aplicar essa igualdade existem algumas restrições que precisamos ter cuidado:

1º - Uma curva fechada C delimitando uma superfície S .

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

3º - Superfície orientada positivamente.

Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!

Passo 2

Bem, a superfície que ele nos deu, já está parametrizada então a gente pode fazer meio que o processo contrário da parametrização para a gente ver que superfície se trata, neh?

S :     r → r ,   θ = r cos ⁡ θ i → + r sin ⁡ θ j → + r k →

Aqui a gente tem que

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = r

Se somarmos x 2 + y 2 a gente desaparece com o seno e cosseno, então acho que é um bom ponto partida:

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ →

x 2 + y 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ →

x 2 + y 2 = r 2

Por ser z = r ...

z 2 = x 2 + y 2

Eita que chegamos em um cara bem conhecido. Chagamos ao cone:

Como r varia de 0 até 1 , então o cone varia ali dó vértice até o plano z = 1 (que é um pano limite)

Passo 3

Muito bem, veja que essa superfície tem uma borda que chamaremos de curva C , e essa curva é uma circunferência que está destacada:

Para sabermos a equação dessa circunferência, basta pegar as duas equações e resolver o sistema...

x 2 + y 2 = z 2   z = 1         →

x 2 + y 2 = z 2       →               x 2 + y 2 = 1 2           →

x 2 + y 2 = 1

Logo, se trata de uma circunferência de raio 1 e que está em cima do plano z = 1 . Saca?

Passo 4

As outras duas condições do problema nos pedem que tenhamos:

2º - Sem singularidades na função Vetorial.

Ora, sim! Basta ver o campo F →

F → x ,   y ,   z = x 2 y i → + 2 y 3 z j → + 3 z k →

Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por 0 em algum ponto ou algo assim.

3º - Superfície orientada positivamente.

Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, como o vetor n → aponta no exterior...

Pela regra da mão direita temos que ter uma cura girando no sentido horário quando vista de cima:

Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?

Passo 5

Com a as três condições de boa, podemos aplicar a igualdade sem problema algum:

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S = ∫ C   F → ⋅ d r →

Para resolver a integral de linha pelo método direto que conhecemos, façamos:

1º - Parametrizar a curva C .

2º - Encontrar d r → .

3º - Encontrar F → em termos da parametrização.

Passo 6

A curva C é uma circunferência de raio 1 que está em cima do plano z = 1 ...

Essa circunferência como vimos tem equação...

x 2 + y 2 = 1

Então por semelhança com equação fundamental sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ...

x = cos ⁡ t

y = sin ⁡ t

O z da curva é bem conhecido...

z = 1

Logo a parametrização escrita de uma forma mais elegante é...

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1

Onde t dá uma volta completa girando de 0 ° até 360 ° , formando a curva redonda completa, saca?

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 7

A nossa segunda tarefa é determinar o termo d r → ...

d r → = γ ' t d t →

γ t = cos ⁡ t , sin ⁡ t ,   1                       →                     γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0

Aqui só tem um detalhe muito importante. Para onde a curva gira com essa parametrização? Ora, essa e uma parametrização clássica onde a curva gira sempre no sentido anti-horário quando vista de cima:

Ai eu te pergunto, é isso que a gente quer? Não neh, vimos que acurva precisa estar girando no sentido horário, e não nesse sentido aí. Nesses casos a gente multiplica essa derivada da curva por - 1 ...

γ ' t = - sin ⁡ t , cos ⁡ t ,   0         →             d r → = sin ⁡ t , - cos ⁡ t ,   0 d t

Sacou? Fique atento a isso! 😉

Passo 8

Como terceira e última tarefa antes de integrar tudo, só temos que transformar o campo F → ...

F → x ,   y ,   z = x 2 y i → + 2 y 3 z j → + 3 z k →       →           F → x ,   y ,   z = x 2 y ,   2 y 3 z ,   3 z

Como y = sin ⁡ t e x = cos ⁡ t e z = 1 ...

F → x ,   y ,   z = cos 2 ⁡ t sin ⁡ t , 2 sin 3 ⁡ t ,   3

Passo 9

Jogando tudo na integral de linha...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t sin ⁡ t , 2 sin 3 ⁡ t ,   3 ⋅ sin ⁡ t , - cos ⁡ t ,   0 d t   →

Calculando esse produto escalar...

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t - 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t =

Como sin 2 ⁡ t = 1 - cos 2 ⁡ t ...

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t 1 - cos 2 ⁡ t - 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - cos 4 ⁡ t - 2 sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t =

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - cos 4 ⁡ t   d t - 2 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t

Calculando a primeira integral lembrando-se de que

cos 2 ⁡ t = 1 2 + cos ⁡ 2 t 2

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - cos 4 ⁡ t   d t = ∫ 0 2 π 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 - 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 2   d t =

∫ 0 2 π 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 - 1 4 + cos ⁡ 2 t 2 + cos 2 ⁡ 2 t 4   d t =

Novamente fazendo

cos 2 ⁡ 2 t = 1 2 + cos ⁡ 4 t 2

∫ 0 2 π 1 2 + cos ⁡ 2 t 2 - 1 4 + cos ⁡ 2 t 2 + 1 8 + cos ⁡ 4 t 8   d t =

Juntando os termos semelhantes...

∫ 0 2 π 1 8 - cos ⁡ 4 t 8   d t = 1 8 t - sin ⁡ 4 t 32 0 2 π = π 4

Calculando a outra integral que deixamos para trás...

∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t

Fazendo uma mudança...

sin ⁡ t = u           →             d u = cos ⁡ t d t

E trocando também os limites...

t = 0                           →                         u = sin ⁡ 0 = 0

t = 2 π                           →                         u = sin ⁡ 2 π = 0

Epa! Os limites foram iguais? Então já podemos falar que a integral é...

∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t = 0

Passo 10

Para finalizar, embora essa última integral deu 0 , lembre-se que não queremos ela sozinha e sim queremos...

∫ C   F → ⋅ d r → = ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - cos 4 ⁡ t   d t - 2 ∫ 0 2 π sin 3 ⁡ t cos ⁡ t   d t =

π 4 + 0 =

π 4

Resposta

π 4

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