32) Calcule
Sendo dada por .
Passo 1
Uma integral de linha como essa a gente sabe que tem dois meios basicamente que podemos resolver:
1º - Resolver pelo método diretão.
2º - Resolver pelo teorema de Stokes.
Bem, do modo diretão você pode desconfiar que não é, pois ele já até nos deu a curva parametrizada, e ele não ia facilitar neh! Oh e, além disso, um campo como aquele não é nada fácil de se trabalhar. Podemos pensar então em fazer pelo segundo método mesmo:
O teorema de Stokes
Passo 2
Tão tá bom sabemos que Stokes pode resolver o problema, mas o que ele fala mesmo? Bem basicamente ele iguala a integral de linha com uma de superfície dessa forma aqui:
Assim, ao invés de termos que calcular uma integral de linha, podemos calcular uma integral de superfície 😉!
Porém Stokes não é só isso! Se não taria muito bom, ne? Para aplicar a igualdade entre as integrais antes devemos averiguar as condições desse Teorema, que nos pede basicamente três coisas:
1º - Uma curva fechada delimitando uma superfície .
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
3º - Superfície orientada positivamente.
Vamos passar por cada um deles e verificar se satisfazem ou não 😊!
Passo 3
A curva dada no problema é a curva parametrizada dessa fora:
Veja aqui que
E com essas igualdades podemos tirar algumas concussões:
- Pow, com o e o dessa forma, se fizermos , a gente desaparece com aqueles senos e cossenos:
- Como , substituindo a expressão do ...
E a superfície de equação é uma velha amiga nossa (o cilindro):
Que também é um velho conhecido (um plano paralelo ao eixo ):
Veja que a junção dessas duas superfícies no espaço é a curva que a gente está trabalhando.
Com esse desenho a gente consegue ver que a curva de fato é fechada e ela delimita váaaaarias superfícies, mas a mais interessante é o próprio disco em cima do plano .
A essa superfície daremos o nome de superfície (apenas um modo carinhoso de referir a este disquinho 😉).
Passo 4
A outra condição é:
2º - Sem singularidades na função Vetorial.
Ora, sim! Basta ver o campo
Para você perceber que o campo não tem nenhum bug ou singularidade, como uma divisão por em algum ponto ou algo assim.
Passo 5
3º - Superfície orientada positivamente.
Aqui o que temos que fazer é garantir que o conjunto curva-superfície esteja orientadas positivamente. Pow, com a parametrização dessa forma aqui:
Então a curva só pode estar girando no sentido anti-horário, afinal essa parametrização é manjada e sempre acontece isso.
Pela regra da mão direita temos que ter um vetor normal pra cima na superfície circular.
Agora elas estão sim orientadas positivamente, saca?
Passo 6
Com as condições averiguadas e sendo satisfeitas, podemos aplicar a igualdade numa nice:
Onde a gente pode encontrar esse rotacional numa boa fazendo...
Como
Então...
Para calcular a integral de superfície e fugir da integral de linha, precisamos:
1º - Parametrizar a superfície .
2º - Encontrar o termo .
Bora?
Passo 7
Para parametrizar a superfície saca só: estamos em cima de um plano...
Então podemos parametrizar de forma explícita, pois o é um cara livre (parâmetro) e depende de que também é um cara livre...
Agora esses parâmetros estão variando dentro do cilindro que é quem delimita o plano formando o disquinho elíptico.
Então a gente pode falar que, vendo de cima pra baixo, o e o estão variando...
No círculo de raio devido a equação do cilindro ().
Então por hora, vamos apenas falar que o e o estão variando dentro da região circular
Passo 8
Para o termo , que é a nossa segunda tarefa na resolução da integral de superfície...
Onde o é fácil de se obter pelo macete de parametrização por gráfico de função ...
Ahhhh! Veja que esse vetor normal atende lá as condições de termos o vetor normal pra cima. Se não atendesse era só inverter o sinal ;D
Então...
Passo 9
Jogando esses dados então na integral de superfície...
Calculando o produto escalar...
Poxa, a integral de é a área de ...
Como o raio desse círculo é ...
Pelo teorema de Stokes...