Analise as seguintes expressões:
Sabendo que elas são válidas e que , e são funções contínuas em , calcule os seguintes itens:
Passo 1
Partiu fazer? Partiu! Vai, analisa comigo: ele está dando um monte de integrais definidas com funções genéricas , e e pedindo o valor de integrais que envolvem essas integrais. Tá na cara que temos que usar propriedades de integrais definidas, você não acha, não?
Então vamos lá!
Passo 2
Na letra , vamos começar usando as propriedades de integrais definidas que aprendemos para quebrar aquela expressão que ele está pedindo, porque aí vai ficar muito mais fácil entender o que você vai usar.
Olha o que ele está pedindo:
Já sabemos que:
Portanto, podemos reescrever o que ele está pedindo como:
Passo 3
E agora? O que podemos fazer com isso?
Não temos nem . O que eu faço? Socorro! Calma, não se desespere! Ainda existem outras propriedades de integrais que podemos usar.
Vamos começar pela , que está mais fácil de visualizar.
Observe que temos
Concorda que se invertemos os limites de integração, teremos , que é o que nos interessa? E como fazemos isso? Lançamos mão daquela linda propriedade:
Logo:
Como:
Temos:
Passo 4
E quanto à ? Olha só as duas integrais que nós temos do enunciado:
A integral que nós queremos é . Nós temos 2 no limite superior de integração de uma integral e 3 no limite superior da outra. Além disso, o -1 aparece como limite de integração nas duas integrais. Dá para sentir aquele gostinho de que é para usar aquela propriedade de juntar os limites de integração?
Mas repara que, do jeito que as integrais estão, não dá para usar essa propriedade. Porque o número equivalente ao , que é o limite de integração que tem que ser igual nas duas integrais, é limite inferior nas duas e, para usar essa propriedade, ele tem que ser limite inferior da primeira e limite superior da segunda.
Olha aí a propriedade de inverter os limites de integração nos salvando de novo!
Agora, temos:
E queremos:
Podemos finalmente utilizar as propriedades de juntar os limites de integração:
Passo 5
Passo 6
Agora que já sabemos e , podemos finalmente juntar tudo:
Passo 7
Passo 8
Agora vamos à letra
Essa letra é meio estranha à primeira vista. O que acontece é que ele coloca uma função da variável no limite da integral. Mas isso dá menos dor de cabeça do que parece. Observe que a variável dentro da integral é . Aquela função de em nada atrapalha a integral.
Ele nos dá . Quando ele pede , simplesmente temos que substituir por e aí teremos o limite superior da integral. A partir daí, resolvemos normalmente.
Passo 9
Fazendo
Nesse caso, olha como fica a integral:
Opa, essa a gente já calculou, lembra? Depois de utilizar as propriedades de integrais na letra , chegamos à conclusão de que essa integral valia .
Pronto!
Resposta
a)
b)