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Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Cálculo 1, P4 - 2020.2, Questão 6

Sejam f ( x ) um polinômio de grau estritamente menor que 3 e

F ( t ) = ∫ 0 t f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x

Sabe-se que l i m t → ∞ F ( t ) existe e é finito. E f ' ( 3 ) = 24

e que

∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = 9

o valor de f ( 0 ) é:

  1. 14
  2. 18
  3. 15
  4. 17
  5. 16

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez, precisamos fazer uma análise bem calma do enunciado e suas implicações. Primeiro temos que:

f ( x ) um polinômio de grau estritamente menor que 3

Isso quer dizer que podemos escrever f como:

f ( x ) = a x 2 + b x + c

Segundo temos que

F ( t ) = ∫ 0 t f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x

e

l i m t → ∞ F ( t )

O que podemos dizer sobre essa afirmação? Bem, como a integral é uma “soma” para existir essa convergência é necessário que

l i m x → ∞ f ( x ) ( x + 1 ) 3 = 0

E, por último, temos que

f ' ( 3 ) = 24

Mas como vimos,

f ( x ) = a x 2 + b x + c

derivando

⇒ f ' ( x ) = 2 a x + b

⇒ 6 a + b = 24

Ou seja, estaremos somando parcelas cada vez menores. Agora que fizemos essas análises, só nos resta integrar

∫ 0 t f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x

Passo 2

Integrando temos:

∫ 0 t f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 0 t a x 2 + b x + c ( x + 1 ) 3 d x

Usando a linearidade da integral

= ∫ 0 t a x 2 ( x + 1 ) 3 d x + ∫ 0 t b x ( x + 1 ) 3 d x + ∫ 0 t c ( x + 1 ) 3 d x

Vamos começar resolvendo a mais simples.

∫ 0 t c ( x + 1 ) 3 d x

note que temos no denominador uma potência de grau três, então podemos usar a fórmula da integral de polinômios que diz que

∫ 1 x p d x = - x - p + 1 / ( p - 1 )

fazendo x + 1   =   u   ⇒ d x = d u

∫ 0 t c ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 1 t + 1 c d u ( u ) 3

= - c 2 u 2 | t + 1 1

= - c 2 ( t + 1 ) 2 + c 2

Passo 3

Agora, vamos integrar

∫ 0 t b x ( x + 1 ) 3 d x

fazendo x + 1   =   u   ⇒ d x = d u

⇒ ∫ 1 t + 1 b ( u - 1 ) ( u ) 3 d x

Usando linearidade da integral

∫ 1 t + 1 b ( u - 1 ) ( u ) 3 d x   = ∫ 1 t + 1 b u ( u ) 3 d x - ∫ 1 t + 1 b ( u ) 3 d x

= ∫ 1 t + 1 b ( u ) 2 d x - ∫ 1 t + 1 b ( u ) 3 d x

Usando o resultado que conseguimos no passo anterior, temos que

∫ 1 t + 1 b ( u ) 2 d x - ∫ 1 t + 1 b ( u ) 3 d x = - b u | t + 1 1   + b 2 u 2 | t + 1 1

= - b t + 1 + b +   b 2 ( t + 1 ) 2 - b 2

juntando tudo,

= - 2 b ( t + 1 ) 2 ( t + 1 ) 2   + b ( t + 1 ) 2 2 ( t + 1 ) 2 +   b 2 ( t + 1 ) 2

= b 2 ( t + 1 ) 2 ( t 2 )

Então temos que

∫ 0 t b x ( x + 1 ) 3 d x = b 2 ( t + 1 ) 2 ( t 2 )

Passo 4

Para finalizar, precisamos calcular ∫ 0 t a x 2 ( x + 1 ) 3 d x , mas precisamos mesmo saber a integral exata? Veja bem, coisas da forma ∫ x p / ( x + k ) p + 1 d x vão dar algo dependendo de um l o g , mas lembram que no começo da questão chegamos a conclusão que

l i m x → ∞ f ( x ) ( x + 1 ) 3 = 0

mas se tem um l o g como resultado da integral, essa condição não será verdadeira. Logo podemos afirmar que

a = 0

Legal, né? Juntando esse resultado com os que obtivemos nos demais passos temos:

6 a + b = 24

�� b = 24

Passo 5

Agora só precisamos encontrar c . Para isso precisamos usar o fato que

∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = 9

Como já sabemos que integral é essa (calculamos no passo anterior) e sabendo que b = 24 , temos que

∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = ∫ 0 1 b x ( x + 1 ) 3 d x + ∫ 0 1 c ( x + 1 ) 3 d x  

= b 8 - c 2 ( 1 + 1 ) 2 + c 2

= 3       - c 8 + c / 2

= 3 + ( 3 c 8 )

Mas como

∫ 0 1 f ( x ) ( x + 1 ) 3 d x = 9

⇒ 3 + ( 3 c 8 ) = 9

⇒ c = 16

Então concluímos que

f ( x ) = 24 x + 16

Logo

f ( 0 ) = 16

Valor presente na letra e )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

e )

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