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Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

Use as propriedades das integrais para verificar a desigualdade sem calcular as integrais.

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2 d x ≤ 2 2

Passo 1

O problema nos pede para usarmos as propriedades das integrais e aparece uma desigualdade. Queremos provar que a integral está entre 2 e 2 2 sem calculá-la.

Passo 2

-

Temos uma integral e uma desigualdade. Isso tem uma carinha de que devemos usar aquelas propriedades de integrais definidas que envolvem desigualdades.

Sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado tem um mínimo e um máximo absolutos. Estamos tratando de um intervalo fechado ( - 1 ≤ x ≤ 1 ) e a função 1 + x 2 é contínua nesse intervalo.

Nesse caso, vamos pensar na seguinte propriedade:

S e   m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b →   m   ( b - a ) ≤ ∫ a b f x ≤ M ( b - a )

Para podermos usá-la a nosso favor, entretanto, devemos achar o mínimo e o máximo absolutos de f x no intervalo [ - 1,1 ] .

Que tal desenharmos o gráfico dessa função para visualizar melhor?

P a r a   x =   - 1 →   1 + x 2 = 2

P a r a   x = 0 → 1 + x 2 = 1

P a r a   x = 1 → 1 + x 2 = 2

Pelo gráfico da função nesse intervalo, identificamos o mínimo e o máximo local:

S e   1 ≤ 1 + x 2 ≤ 2 ,   p a r a   t o d o - 1 ≤ x ≤ 1

m = 1

M = 2

Podemos utilizar, então, a propriedade:

S e   m ≤ f x ≤ M ,   p a r a   t o d o   a ≤ x ≤ b →   m   ( b - a ) ≤ ∫ a b f x ≤ M ( b - a )

m   b - a = 1 . 1 - - 1

m   b - a = 2

M b - a = 2 1 - - 1 = 2 2

2 ≤ ∫ - 1 1 1 + x 2 ≤ 2 2

Conforme queríamos demonstrar!

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