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Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Integrais, Questão 9.1

9.1. Verifique se a integral ∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x converge ou diverge. Caso seja convergente, calcule seu valor.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, queremos verificar se a integral ∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x converge ou diverge e se caso ela seja convergente, temos que responder para qual valor isso acontece.

E aí, como vamos fazer isso? 🤔

Essa é uma integral imprópria, então para calculá-la, temos que substituir ∞ por uma variável a e depois calcular o limite para a tendendo a ∞ .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Adaptando a integral, vamos obter

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x → lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 3 e - x 2 d x

Primeiro vamos calcular a integral de x 3 e - x 2

∫ x 3 e - x 2 d x

Se fizermos uma mudança de variáveis de x 2 para u , vamos obter d u d x = 2 x → d x = 1 2 x d u , ou seja

∫ x 3 e - x 2 d x → ∫ x 3 e - u 1 2 x d u = ∫ x 2 e - u 2 d u

Aí como u = x 2 , então

∫ u e - u 2 d u

Pelo método de integração por partes, temos que seguir a formulinha

∫ u d v = v · u - ∫ v d u

Fazendo u = u e d v = e - u d u , temos d u = d u e v = - e - u ...

∫ u e - u 2 d u = 1 2 ∫ u e - u d u = 1 2 u - e - u - ∫ - e - u d u

1 2 ∫ u e - u d u = 1 2 - u e - u + ∫ e - u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, vamos obter que

1 2 ∫ u e - u d u = 1 2 - u e - u - e - u

Voltando u para x 2 ...

∫ x 3 e - x 2 d x = - 1 2 x 2 e - x 2 + e - x 2

Podemos ignorar a constante de integração.

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Aplicando os limites de integração, vamos obter

∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = - 1 2 a 2 e - a 2 + e - a 2 - - 1 2 0 2 e - 0 2 + e - 0 2

∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = - 1 2 a 2 e - a 2 + e - a 2 + 1 2

∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = - a 2 e - a 2 2 - e - a 2 2 + 1 2

E finalmente, calculando o limite para a → ∞ , vamos obter

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ - a 2 e - a 2 2 - e - a 2 2 + 1 2 = lim a → ∞ ⁡ - a 2 2 e a 2 - 1 2 e a 2 + 1 2

lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ - a 2 2 e a 2 - lim a → ∞ ⁡ 1 2 e a 2 + lim a → ∞ ⁡ 1 2

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l no primeiro termo, temos

lim a → ∞ ⁡ - a 2 2 e a 2 = lim a → ∞ ⁡ - d a 2 d a d 2 e a 2 d a = lim a → ∞ ⁡ - 2 a 4 a e a 2 = lim a → ∞ ⁡ - 2 4 e a 2

Aplicando o limite...

lim a → ∞ ⁡ - 2 4 e a 2 = - 2 ∞ = 0

No segundo termo, temos algo muito parecido...

lim a → ∞ ⁡ 1 2 e a 2 = 1 ∞ = 0

E como o limite de uma constante é a própria constante, temos

lim a → ∞ ⁡ 1 2 = 1 2

E enfim, temos que a integral do problema converge para

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x 3 e - x 2 d x = lim a → ∞ ⁡ - a 2 2 e a 2 - lim a → ∞ ⁡ 1 2 e a 2 + lim a → ∞ ⁡ 1 2

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = 0 - 0 + 1 2

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = 1 2

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 ∞ x 3 e - x 2 d x = 1 2

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