UFSC – Cálculo 1 – P3 – Questão 1
Calcule a derivada da função dada por:
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
Primeiro a gente tem que olhar ela com mais carinho. Do lado esquerdo da igualdade a gente tem uma função que é função de . Do outro lado a gente tem uma integral cujos limites são funções de , mas o integrando (aquela parte de dentro da integral) é função de ! Calma, vamos resolver juntos!
Segura minha mão e vem comigo!
O enunciado pediu a derivada de uma função, deu a função e ela é uma integral, isso só tem um cheiro: de teorema fundamental do cálculo!
Como relembrar é viver, esse teorema nos diz que:
No nosso caso queremos calcular , então antes de tudo ela precisa ser contínua.
A função está escrita como uma integral de que é uma composição de duas funções contínuas (polinômio e seno), logo o integrando é uma função contínua e podemos aplicar o teorema, belezinha?
A ideia é identificar as funções do nosso problema com as funções correspondentes do teorema e substituir! Vamos nessa?
Passo 2
Vamos agora identificar quem é quem no nosso problema em relação ao teorema.
A função é quem a gente quer derivar, então:
Como os limites do teorema envolvem uma constante e uma função, precisamos fazer um truquinho: separar essa integral em dois limites, saca só:
E não importa qual é essa constante , ok? É um truque que faz com que a gente possa aplicar o teorema sem prejuízo!
Agora vou usar a propriedade da inversão dos limites de integração (invertendo os limites, surge um na frente da integral):
A função é o integrando em , então:
E o nosso limite superior é na primeira integral da direita e na segunda.
Sóóó uma observação antes da gente continuar!
Ah! Muda que temos que aplicar a regra da cadeia!
Se tivermos , então , mas se não for assim, precisamos aplicar a regra da cadeia!
Tudo bem até aqui?
Passo 3
Agora vou finalmente aplicar o teorema. Partindo da função :
A derivada é (com e nos integrandos):
Agora arrumando as multiplicações:
E por fim arrumando os sinais:
E mais um detalhezinho: no enunciado nossa função não se chama , se chama , então só pra ficar certinho com o exercício:
Ufa! Terminamos!
Bora pra próxima?