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Exercícios Resolvidos de Introdução e Definição de Integral

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2021, VF, Q2

Seja f x = 2 x 3 - 3 x 2 - x + 1 3 . Um aluno propôs que a área limitada por f ( x ) e as retas x = 0 , x = 1 e y = 0 é dada pela integral:

A = ∫ 0 1 f ( x ) d x

  1. Calcule o valor numérico da integral A .
  2. A proposta do aluno está correta? Justifique.

Passo 1

Ô camarada, vem comigo. A área entre duas funções é sempre calculada tomando a diferença da maior pela menor no intervalo de integração, ou mais simplesmente, tomando o módulo da diferença:

∫ 0 1 f x d x

Como f 0 = 1 e f 1 = - 1 , vemos que a função troca de sinal no intervalo de integração, logo a proposta do aluno não está correta, pois teremos:

A = ∫ 0 1 f ( x ) d x ≠ ∫ 0 1 f x d x

Passo 2

Agora, para calcular:

A = ∫ 0 1 2 x 3 - 3 x 2 - x + 1 3 d x

Devemos analisar o polinômio. Pelo teorema das raízes racionais, temos { ± 1 , ± 1 / 2   } como possíveis raízes. Testando, verifica-se que x = 1 / 2 é raiz e o polinômio pode ser fatorado como:

2 x 3 - 3 x 2 - x + 1 = x - 1 2 ( 2 x 2 - 2 x - 2 )

= ( 2 x - 1 ) ( x 2 - x - 1 )

= 2 x - 1 x - 1 - 5 2 x - 1 + 5 2

Observe que há certa simetria em relação a x = 1 / 2 . Como esse polinômio possui a forma similar a:

Assim, substitua na integral u = x - 1 / 2 , tal que d u = d x e:

A = ∫ 0 1 2 x - 1 x - 1 - 5 2 x - 1 + 5 2 3 d x

= ∫ - 1 / 2 1 / 2 2 u u + 5 2 u - 5 2 3 d u

Contudo observe que o integrando é impar:

2 ( - u ) ( - u ) + 5 2 ( - u ) - 5 2 3 = - 2 u u - 5 2 u + 5 2 3

Logo, A = 0 , pois a integral de uma função ímpar com limites de integração simétricos assim o é.

Resposta

  1. A = 0 .
  2. A proposta está incorreta.

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